椭圆、双曲线、抛物线练习题

【例】以抛物线xy382的焦点F为右焦点,且两条渐近线是03yx的双曲线方程为___________________.解：抛物线xy382的焦点F为)0,32(，设双曲线方程为223yx，9)32(342，双曲线方程为13922yx【例】双曲线2224byx=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_________。解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2)，即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2，又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|，依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4，依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2∴16+8c2＜50+2c2，∴c2＜317,又∵c2=4+b2＜317，∴b2＜35，∴b2=1。【例】当m取何值时，直线l：yxm与椭圆22916144xy相切，相交，相离？解：22916144yxmxy…………①②①代入②得22916()144xxm化简得222532161440xmxm222(32)425(16144)57614400mmm当0,即5m时，直线l与椭圆相切；当0，即55m时，直线与椭圆相交；当0，即5m或5m时，直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=3104，试求椭圆的方程。精讲精练解：|MF|max=a+c，|MF|min=a－c，则(a+c)(a－c)=a2－c2=b2，∴b2=4，设椭圆方程为14222yax①设过M1和M2的直线方程为y=－x+m②将②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0③设M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中点为(x0，y0)，则x0=21(x1+x2)=224ama，y0=－x0+m=244am。代入y=x，得222444amama，由于a2＞4，∴m=0，∴由③知x1+x2=0，x1x2=－2244aa，又|M1M2|=31044)(221221xxxx，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求椭圆方程为：4522yx=1。【例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=210，求椭圆方程。解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由1122nymxxy得(m+n)x2+2nx+n－1=0，Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0，即m+n－mn＞0，由OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，∴nmnnmn2)1(2+1=0，∴m+n=2①又2)210()(4nmmnnm2，将m+n=2，代入得m·n=43②由①、②式得m=21，n=23或m=23，n=21故椭圆方程为22x+23y2=1或23x2+21y2=1。【例】已知圆C1的方程为3201222yx，椭圆C2的方程为12222byaxab0，C2的离心率为22，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。yxC1F2F1OAB解：由.,2,22,222222cbcaace得设椭圆方程为.122222bybx设).1,2().,().,(2211由圆心为yxByxA.2,42121yyxx又,12,12222222221221bybxbybx两式相减，得.022222122221byybxx,0))((2))((21212121yyyyxxxx又.1.2.421212121xxyyyyxx得)..2(1xyAB的方程为直线即3xy将得代入,1232222bybxxy.021812322bxx.07224.22bCAB相交与椭圆直线由.3204)(222122121xxxxxxBA得.3203722422b解得.82b故所有椭圆方程.181622yx【例】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。BAy=12xoyxF2F1解法一：由e=22ac，得21222aba，从而a2=2b2，c=b。设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上。则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0，.)(221212121yyxxxxyy设AB中点为(x0，y0)，则kAB=－002yx，又(x0，y0)在直线y=21x上，y0=21x0，于是－002yx=－1，kAB=－1，设l的方程为y=－x+1。右焦点(b，0)关于l的对称点设为(x′，y′)，byxbxybxy111221解得则由点(1，1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2，b2=89,1692a。∴所求椭圆C的方程为2291698yx=1，l的方程为y=－x+1。解法二：由e=21,22222abaac得，从而a2=2b2，c=b。设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2，l的方程为y=k(x－1)，将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0，则x1+x2=22214kk，y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2212kk。直线l：y=21x过AB的中点(2,22121yyxx)，则2222122121kkkk，解得k=0，或k=－1。若k=0，则l的方程为y=0，焦点F(c，0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1)，即y=－x+1，以下同解法一。解法三：设椭圆方程为)1()0(12222babyax直线l不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线ABxy过21中点矛盾。故可设直线)2()1(xkyl的方程为整理得：消代入y)1()2()3(02)(2222222222bakaxakxbak)()(2211yxByxA，，设，22222212bakakxx知：代入上式得：又kxxkyy2)(212121221xxkk，212222222akbakkk，2122kabkk，22e又122)(22222222eacaabk，xyl1的方程为直线，222ba此时，02243)3(22bxx化为方程，0)13(8)1(241622bb33b，)4(22222byxC的方程可写成：椭圆，2222bbac又，)0(，右焦点bF，)(00yxlF，的对称点关于直线设点，则byxbxybxy112121000000，，得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b22)1(21bb，3343b，1692b，892a所以所求的椭圆方程为：11698922yx【例】如图，已知△P1OP2的面积为427，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为213的双曲线方程。oyxPP2P1解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系。设双曲线方程为2222byax=1(a＞0，b＞0)，由e2=2222)213()(1abac，得23ab。∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=23x和y=－23x设点P1(x1，23x1)，P2(x2，－23x2)(x1＞0，x2＞0)，则由点P分21PP所成的比λ=21PPPP=2，得P点坐标为(22,322121xxxx)，又点P在双曲线222294ayax=1上，所以222122219)2(9)2(axxaxx=1，即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2，整理得8x1x2=9a2①,427131241321sin||||211312491232tan1tan2sin21349||,21349||212121121212222212121121xxOPPOPOPSOxPOxPOPPxxxOPxxxOPOPP又即x1x2=29②由①、②得a2=4，b2=9。故双曲线方程为9422yx=1。【例】过椭圆C：)0(12222babxay上一动点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1)已知P点坐标为(x0，y0)并且x0y0≠0，试求直线AB方程；(2)若椭圆的短轴长为8，并且1625||||2222ONbOMa，求椭圆C的方程；(3)椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)切线PA：211byyxx，PB：222byyxx∵P点在切线PA、PB上，∴2020220101byyxxbyyxx∴直线AB的方程为)0(00200yxbyyxx(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(02xb，0)；令x=0，则N(0，02yb)∴1625)(||||22220220222222babxaybaONbOMa①∵2b=8∴b=4代入①得a2=25，b2=16∴椭圆C方程：)0(1162522xyxy(3)假设存在点P(x0，y0)满足PA⊥PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，四边形PAOB为正方形，|OP|=2|OA|∴220202byx①又∵P点在椭圆C上∴22202202baybxa②由①②知x2222202222220,)2(babaybabab∵ab0∴a2－b20(1)当a2－2b20，即a2b时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；(2)当a2－2b20，即ba2b时，椭圆C上不存在满足条件的P点【例】已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足.||||CBPBBCPC（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论。（3）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2。求证：直线DE过定点，并求出这个定点。解：（1）设.4,1)1(||||),(222xyxyxCBPBBCPCyxP化简得得代入).2,5(),5(12,0)2()5()2(),14(444424:).24,14(4),1(12:).24,14(,242,0484,4)1(2).2,1(,14)2,()2(222222221222过定点即化简得方程为则直线得代入同理可