极小值原理及应用

1主要内容3.1极小值原理的提出3.2连续系统极小值原理积分型最优控制问题综合型最优控制问题3.3离散系统极小值原理（自学）2古典变分法存在的问题3.1极小值原理的提出3(1)在一般情况下，可以将控制函数U(t)所受到的约束条件利用如下形式的不等式来表示.当控制函数U(t)受到上述不等式约束,并且最优控制取决于闭集性约束的边界时，特别要求H/U(t)有定义，古典变分法便不再适用了。(2)在应用古典变分法来求解最优控制问题时，要求函数[X(tf),tf],L[X(t),U(t),t],f[X(t),U(t),t]对它们的自变量具有“充分”的可微性.例如：[()]0i1,2,...,iUtm0()fttJutdtā4]),(),([)(ttUtXftX初始条件00)(XtX给定系统状态方程要求：确定满足约束条件的最优控制U*(t)，使系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函达到极小值。1、积分型最优控制问题终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由，U(t)是m维控制变量，其所受约束条件是：为容许控制域，是以U(t)为元素的m维实函数空间中的一个闭子集。容许控制3.2连续系统极小值原理问题3-15（1）设U*(t)是最优控制，X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X(t)与(t)满足规范方程]),(),([)(ttUtXfHtXXHt)(其中]),(),([)(]),(),([ttUtXftttUtXLHT（2）边界条件为00)(XtX0)(ft（3）哈密顿函数H对控制变量U(t)（t0ttf）取极值，即0UH如果不考虑约束条件，那么该最优控制问题的解的必要条件可由定理2-10给出，现引述如下：控制函数U(t)不受约束或只受开集性的约束的情况下的最小值原理6(1)当控制函数U(t)不受约束或只受开集性约束条件下，0UH等价0UH控制方程不是问题3-1所给定的最优控制问题解的必要条件。0UH结论：说明：(2)在控制函数U(t)受到闭集性约束的条件下，控制方程未必是最优控制问题的解的必要条件之一。a.b.Hamilton函数H[X(t)，(t)，U(t)，t]在闭子集内可能不存在极值点，以H/U来求极小值点难以奏效。7定理3-1（积分型最优控制问题的极小值原理）给定系统的状态方程初态X(t0)=X0，终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由以及控制变量U(t)所受约束条件是则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：8(1)设U*(t)是最优控制,X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X*(t)和(t)满足规范方程：(2)边界条件为(3)哈密顿函数在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上达到最小值,即H：哈密顿函数9(2)一个函数的最小值点与该函数反号后的最大值是一致的。则结果是一致的，只是二式中的协态变量(t)是互为反号的。则说明:(1)用古典变分法求解控制向量无界时的泛函极值问题是最小值原理的一个特例。令哈密顿函数为：若令哈密顿函数为：10定理3-2（积分型最优控制问题的极大值原理）给定系统的状态方程初态X(t0)=X0，终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由以及控制变量U(t)所受约束条件是则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：11(1)设U*(t)是最优控制,X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X*(t)和(t)满足规范方程：(2)边界条件为(3)哈密顿函数在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上达到最大值,即H：哈密顿函数12定理3-2极大值原理的中心内容是,使性能泛函达到最小值的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到最大值极大值原理。定理3-1极小值原理的中心内容是,使性能泛函达到最小值的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到最小值极小值原理。13用极小值（极大值）原理解最优控制问题的一般步骤（1）列出哈密顿函数0uH（2）求出使H极小（或极大）时的最优控制和，的关系。可分为两种情况：tutλtxa能成立的，就用此式求和，的关系；tutλtxb不能成立的，即有约束，或H对不连续可微，则用极小值原理分析H表达式,求出使H最小时的和，的关系式。但此时x与仍是未知数，下一步求出x、后再代入求。0uHtutλtxλuλuu143.由状态方程和协态方程xλHtHλxtxtλ及相应边界与横截条件求出与。4．将与代入，可求出。5.验算。因为最小值原理解最优控制问题不是充分条件，因此，解出后须代入性能指标J的表达式进行验算。txtλtutu15例3-1给定一阶线性系统和初始条件其中控制作用u(t)（控制函数）的约束条件为要求确定控制函数u(t)，使性能泛函达到极小值。分析：积分型最优控制问题；始端固定，终端时刻tf=1固定，终端状态X(tf)是自由；控制函数受到闭集性的约束条件。16o1112teln2e1ln2eo1-1u(a)(b)tt17关于极小值原理的几点说明（1）极小值原理将经典变分法得到的控制方程修改为但是，并不改变正则方程及横截条件。因此，可从上式解得并将其代入正则方程，同样可以得到一组两点边值微分方程。0uH]),(),([)(**ttttλxuu18（2）极小值原理扩大了变分法的适用范围极小值是对古典变分法的发展。不仅可以用来求解函数U(t)不受约束或只受开集性约束的最优控制问题，而且也可以用来求解控制函数U(t)受到闭集性约束条件的最优控制问题。这就意味着极小值原理放宽了对控制函数U(t)的要求。极小值原理没有提出哈密顿函数H对控制函数U(t)的可微性的要求，因此，其应用条件进一步放宽了。19uH0H-u曲线存在角点uaub20（3）全局与局部由极小值原理所求得的最优控制U(t)使哈密顿函数H达到全局、绝对最大值，而由古典变分法的极值条件H/U=0所得到的解是H的局部、相对最大值。极小值原理将古典变分法求解最优控制问题的极值条件作为一个特例概括在自己之中。21由极小值原理所求得的解能否使性能泛函J达到极小值，还需要进一步分析与判定。如果根据物理意义已经能够断定所讨论的最优控制问题的解是存在的，而由极小值原理所得到的解只有一个，那么，该解就是最优解。实际上，我们遇到的问题往往属于这种情况。（4）极小值原理是最优控制问题的必要条件并非充分条件22ABDCuH0u3uaubu1u2几种不同的H-u曲线232、综合型最优控制问题问题3-2给定系统的状态方程：（3.1）其中f是n维连续可微的向量函数。X(t)是n维状态变量，已知其初态为X(t0)=X0，终端时刻tf是可变，终端的约束条件为：（3.2）其中是r维连续可微的向量函数，且rn，U(t)是m维控制变量，且其约束条件为（3.3）是以U(t)为元素的m维实函数空间中的闭子集。要求：在满足式（3.3）的容许控制中，确定一控制变量U(t)，使系统从给定的初态X(t0)转移到满足式（3.2）条件下的某个终态X(tf)，并使性能泛函达到极小值。()[(),(),]XtfXtUtt[(),]0ffXtt0,(),[]fUtttt0[(),][(),(),]ftfftJXttLXtUtt24给定系统的状态方程和控制函数U(t)的闭集约束条件则为将系统从给定的初态X(t0)=X0，转移到满足终端约束条件的某个终态X(tf)，其中tf是可变的，并使性能泛函()[(),(),]XtfXtUtt0,(),[]fUtttt[(),]0ffXtt0[(),][(),(),]ftfftJXttLXtUtt达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：定理3-3综合型最优控制问题的极小值原理25(1)设U*(t)是最优控制,X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X*(t)和(t)满足规范方程其中()[(),(),]HXtfXtUtt()HtX[(),(),(),][(),(),]()[(),(),]THHXttUttLXtUtttfXtUtt26在上述各式中的是待定的r维乘子向量，即(3)哈密顿函数H在最优控制与最优轨线上达到最小值。即()fTftttXX0fTttHtt终端受限tf自由12[,,,]Tr***()[(),(),(),]min[(),(),(),]UtHXttUttHXttUtt(2)状态变量和协态变量的边界条件为00()XtX[(),]0ffXtt27给定系统的状态方程和控制函数U(t)的闭集约束条件则为将系统从给定的初态X(t0)=X0，转移到满足终端约束条件的某个终态X(tf)，其中tf是可变的，并使性能泛函达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：()[(),(),]XtfXtUtt0,(),[]fUtttt[(),]0ffXtt0[(),][(),(),]ftfftJXttLXtUtt定理3-4综合型最优控制问题的极大值原理28其中()[(),(),]HXtfXtUtt()HtX[(),(),(),][(),(),]()[(),(),]THHXttUttLXtUtttfXtUtt(1)设U*(t)是最优控制,X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的(t)，使得X*(t)和(t)满足规范方程29(2)状态变量和协态变量的边界条件为00()XtX[(),]0ffXtt()fTftttXX0fTttHtt(3)哈密顿函数H在最优控制与最优轨线上达到最大值。即***()[(),(),(),]max[(),(),(),]UtHXttUttHXttUtt注意：若所讨论问题是确定最优控制U*(t)，使性能泛函0[(),][(),(),]ftfftJXttLXtUttdt达到极大值，极小值原理仍然成立，这时只要将上述性能泛函变为0[(),][(),(),]ftfftJJXttLXtUttdt终端受限tf自由30例3-2给定系统的状态方程初始条件和终端条件现在需要确定最优控制u1*(t)和u2*(t)以及最优轨线x1*(t)和x2*(t)，将系统从t=0时的初态转移到t=1时的终态，并使性能泛函达到极小值。11212()()()()()xtutxtxtut12(0)(0)0xx12(1)(1)1xx1221120[()()()]Jxtututdt31ttttttxxxuuux1x2x1x1x2x21111110.750.8310.5u1u1u1u2u2u2(a)(b)(c)