高中数学-必修四--正弦、余弦函数的性质(1)

一、复习回顾y=cosx,x∈Ry=sinx,x∈R-1xy13、正弦、余弦曲线的关系.1、理解用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象2、能够用五点法作正弦函数和余弦函数的简图性质1：定义域，值域12()sin_____cos_____()sin_____cos_____yxyxyxyx函数的定义域是函数的定义域是函数的值域是函数的值域是RR[-1,1][-1,1]二、基础知识讲解y=cosx,x∈Ry=sinx,x∈R-1xy1思考：请观察正弦函数的图象，说出当x取何值时，正弦函数有最值?maxminsin,yxxRxyxy对于正弦函数当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，二、基础知识讲解性质2:最大值与最小值正弦曲线xyo1-1-2-234sin,yxxR22()kkZ322()kkZ11思考：你能通过正弦函数与余弦函数的关系，猜想出当x取何值时，余弦函数有最值吗?-2-o23x-11y余弦曲线cos,yxxRmaxmincos,yxxRxyxy对于余弦函数当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，2()kkZ2()kkZ11性质2:最大值与最小值二、基础知识讲解例1、下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么。11()cos,yxxR232()sin,yxxR三、例题分析解：这两个函数都有最大值、最小值.(1)使函数y=cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y=cosx，x∈R取得最大值的x的集合2{|,}xxkkZ使函数y=cosx+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y=cosx，x∈R取得最小值的x的集合21{|(),}xxkkZ函数y=cosx+1，x∈R的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.同理，使函数取最小值的x的集合是所以使函数取最大值的x的集合是解：(2)令t=2x,因为使函数取最大值的t的集合是3sin,yttR22{|,}ttkkZ222xtk由4,xkkZ得32sin,yxxR4{|,}xxkkZ32sin,yxxR4{|,}xxkkZ函数取最大值是3，最小值是-3。32sin,yxxR例1、下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么。11()cos,yxxR232()sin,yxxR三、例题分析正弦曲线xyo1-1-2-234sin,yxxR-2-o23x-11y余弦曲线cos,yxxR性质3：周期性二、基础知识讲解2,sin()sinxRxx对任意都有2,cos()cosxRxx对任意都有周期函数的定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个常数T≠0,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数y=f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做最小正周期。性质3：周期性二、基础知识讲解202yxyxkkZk,sin,cos,(,),.所以函数是周期函数是它的周期最小的正周期是性质3：周期性二、基础知识讲解正弦曲线xyo1-1-2-234sin,yxxR-2-o23x-11y余弦曲线cos,yxxR对周期函数的理解14242yx()sin()sinsin，是的周期判断：3232yxsin()sinsin，不是的周期注意：①定义是对于每一个x值而言的。只有个别的x满足f(x+T)=f(x)时，T不是周期。注意：②从等式f(x+T)=f(x)来看，要注意的是x本身的增量才是周期.2222222fxTfxTTTfxTfxfxfx:()()()[()]()()如，不是周期，而要变成，是的周期对周期函数的理解111222222fxxxxfx()()sinsin()sin()若，，是的周期判断：注意：③周期函数的周期不止一个，若T是周期,则kT(k∈Z，k≠0)也是周期。没有特别指明，函数的周期一般指最小正周期。对周期函数的理解34()ysinxxR是，的周期判断：(4)每一个周期函数都有最小正周期。注意：④不是每一个周期函数都有最小正周期，如常数函数。例2、求下列函数的周期：(1)y=3cosx，x∈R13226sin(),yxxR三、例题分析(2)y=sin2x,x∈R(1)y=3cosx，x∈Rxxyx23cos(+2)=3co:s3cos2.余弦函数的周期是函数的周期是解分析：因为余弦函数的周期是2π，所以自变量x只要并且至少需要增长到x+2π，余弦函数的值才会重复取得，函数y=3cosx的值才能重复取得，所以T=2π。三、例题分析:sin(2+2)=sin[2()]=sin2()()=sin2.xxxfxfxyx解函数的周期是注意：从等式f(x+T)=f(x)来看，要注意的是x本身的增量才是周期.(2)y=sin2x,x∈R三、例题分析13226sin(),yxxR112222626112222262611242262612426sin()sin()sin()sin()sin[()]sin()sin()xxxxxxyx解：函数的周期是三、例题分析例2、求下列函数的周期：(1)y=3cosx，x∈R13226sin(),yxxR三、例题分析(2)y=sin2x,x∈R思考：你能从例1和练习的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？T=2πT=πT=4π结论：一般地，函数y=Asin(ωx+φ)，x∈R或y=Acos(ωx+φ)，x∈R（A、ω、φ为常数，且A≠0，ω0）的周期是：2T三、例题分析22702132()()[,]()(-),(),()fxxRxfxxff思考、设函数是以为最小正周期的周期函数，且时，求的值110011112cos()....mxmmAmBmCmDmm、使有意义的取值范围为　　　　　　或20431sin()yx、函数（）的周期为，则23632153sin()cos()()....yxxABCD、的最小值等于　　　　　　　　　　　　　BC四、针对性练习6课本P46A组2（1）（2）、3、10五、课时小结1、掌握正弦、余弦函数的图像和性质：定义域、值域、最值、周期性2、掌握求周期的方法六、作业课后训练：三维设计P23考点一、考点三