最优控制--极大值原理

第三章极小值原理及应用经典变分法缺陷：1、应用前提：a、控制量u(t)的取值不受任何限制，没有任何不等式约束。b、f、L、等函数对其自变量有充分可微性。2、实际控制要求：a、控制量u受不等式约束，如：0)(uMi，i=1,2,3……b、性能指标有时并不完全可微如：燃料最优控制：fttdttuJ0)(20uuu若采用经典变分：。极小值原理。实际应为0*1*;,0UUUUUH10uuu0U1UHUJ][u0U1U2UHUJ][u0U1U若采用经典变分法：0UH不再适用，求不出解来实际应为0*UU极小值原理10uuu若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值原理与经典变分法，所得结论一致。0U1UHUJ][u*U一、定理极小值原理：[时变系统]时变受控系统),,(tUXfX，其中控制向量rRtu)(，为容许控制域，U(t)是在内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始00)(XtX转移到末端)(ftX，)(ftX满足约束：0]),([ffttXgft，未定，并使性能指标达fttffdtttUtXLttXJ0]),(),([]),([到极小值。设)(*tU和*ft是如上J为最小的最优解，)(*tX为最优状态轨为0的n维向量)(t，满足:1、规范方程：XHtUXfX),,(2、边界条件：0)(])()],([[)(]),([)()(00fTftfffTfffftgtHtXttXgtXttXtXtXf线，则必存在不3、与)(*tU对应的哈密顿函数H取极小值。]),(),(),([min]),(),(),([**)(***tttUtXHtttUtXHtu即:设)(),(**ttX为满足状态方程和协状态方程的最优解。在中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条)(*tU使得]),(),(),([***tttUtXH仅看作U的函数时也取最小值。极小值原理的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行二、极小值原理的意义：1、容许控制条件放宽变分法：在整个控制域，对U没有约束0uH有时计算不易。极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。变分法仅为极小值原理的一个特例。]),(),(),([***tttUtXH0uH件为证明，省略。且即使U不受限制，2、最优控制*U使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。这一原理是苏联学者“庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得。在证明过程中：与H得符号与这里所定义的相反。HH_)](),(),([max)](),(),([*_)(**_tuttXHtUttXHtu∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。4、极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。一般:对于实际系统有最优解有唯一解最优解－－－－－－－－根据物理意义－－－－－－－－极小值原理－－三、几种边界条件得讨论：上面所讨论的是0t和)(0tX已知。)(ftX受约束，ft自由的最一般情况。若ft和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。1）ftt,0已知，ffXtXXtX)(,)(00边界条件为：2)000)(,XtXt给定，)(ftX自由，ft未给定，边界条件：ftfXtXtX|)(,)(00确定:ft0ffttH3)ftt,0已知，00)(XtX给定,末端受约束0]),([ffttXg边界条件为:0]),([)()(00fffTffttXgtXgtXtXtX若ft自由:外加:0|fTfttgtHfffXtXXtX)(,)(00四、例题分析:设一阶系统状态方程：)()()(tutxtxx(0)=5控制约束:15.0u试求使性能指标:10)]()([dttutxJ为极小值的最优控制及最优性能指标*J解:定常系统,ft固定,末端自由问题)1()1()(uxuxuxH根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小所以)(*tU5.01由协状态方程:1)()];(1[)(tcettXHt)(*tU11由横截条件:1)(;;01)1(11tetecce显然:当1)(st时，)(*tU产生切换307.0,11)(1ststets所以)(*tU5.01)(tx5.0)(1)(txtx)(tx5.0121ttecec307.00t1307.0t307.00t1307.0t307.00t1307.0t由x(0)=5代入,得41c所以14)(*tetx令t=0.307可得0.307≤t≤1时x(t)的初始条件:44.614)307.0(307.0ex解得34.42c所以)(*tX5.034.414ttee将**,UX代入J可得:64.8)]()([10***dttUtXJ307.00t307.00t1307.0t例2:10)0()(21)(min1022xuxxdtuxuJ求*ua)对U没有约束b)|u|3.0解:a)*220)(21210)1(UuHuxuxHxuxxxxH010)0(x0)1(解得:tttteeteetx2222*)12(9.9)12(1.0)(9.91.0)(b)|u|3.0由极小值原理:}sgn{*U当t=1时0在[0,1]区间0)(t所以3.0)(*tU五、极小值原理中哈密顿函数H的性质讨论用途：对于所求解的最优控制的验证，或帮助求解最优控制及1、线性定常系统：),(UXfXft、)1固定，dtUXLtXJfttf0),()]([包括fttfdtUXLJtXJ0),()]([(与末端状态无关)则:)()(**ftHtH常数。{tHdtdHH中不显函t}ft、)2自由，ffttttffdtUXLdtUXLtXtXJ00),(),()]([)]([沿最优控制轨线：0)()(***ftHtH（与末端状态无关）因为)(*tH中不显函t所以)()(***ftHtH常数又因为ft自由,0)(;0;0)(****fffftHtttH*ft2、对于时变系统：),,(tUXfXft、)1固定:ffttffttffdttUXLttXdttUXLttXJ00),,(]),([),,(]),([fttfdHtHtH0)()(**ft、)2自由:fttffdttUXLttXJ0),,(]),([，末端0)],([ffttXg0)(**fTfftgttH若末端自由:ffttH)(**证明：见胡寿松P91页第四节最小值原理在实际中的应用几个典型例子：1.时间最优控制问题2.最小燃料消耗问题3.最小能量控制问题4.线性调节问题介绍重点：时间最优控制问题（其他求解思想与此类似）一、时间最优控制问题所谓时间最优控制，就是把系统从初始状态转移到目标状态的时间作为性能指标，即使转移时间为最短。这也是发展得最早的最优控制问题之一。1、问题提出（时变系统）已知受控系统并设f和B对X(t)和t连续可微。0)0(),()),(()),((XXtuttXBttXfX1)(tjurj......2,10)(ftxg00ttdtJfttfftX：n×1状态向量u：r×1控制向量f：n×1函数向量B：n×r函数值矩阵控制向量约束条件:末端状态：g：p×1维函数向量目标函数：:自由问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态，目标函数J为最小应用最小值原理进行问题的求解步骤：⑴列写哈密顿函数)(),()(),()(1)(),(),()(1),(),(),(tuttxBtttxfttuttxBttxfttttutxHTTT⑵由控制方程求u*(t)∵u有约束，∴H在u*上取得极小值，即：令q:r×1维向量函数[注：])(),(*)(*min),(),(*),(*1tuttxBttttutxHTuTj1)(*),(*)(*nnrTtttxBtqTTTABBArjjjuTuTtutqtutqtutqjj111)()(min)()(*min)(*)(*)()(min11tutqjjrjuj则有：j=1，2…r最优控制u*(t)是使为极小，则：)()()(min11tqtutqjjjrjuj)()(tutqjj)(*tuj0)(*,0)(*,0)(*,tqtqtqjjj不定可见：当时，有确定值，正常情况当时，不定，奇异情况0)(tqj)(*tuj0)(tqj)(*tuj＋１－１t+1-1u*(t)奇异我们仅研究正常情况u*(t)写成符号函数sgn{}形式则j=1，2…r向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}=-sgn{})(*sgn)(*tqtujj)(*),(tttxBT⑶根据规范方程：)()()(),(),(tXHttuttxBttxfX及初始条件和横截条件：000ffttTHtgXtXfffTftXttxgt,可求得x*(t)及)(*t⑷求最优控制u*(t))(*),(*sgn)(*tttxBtuT→砰一砰控制2、砰一砰控制定理：要求控制量始终为最大或最小设u*(t)是上述问题提出的解，x*(t),是相应的状态轨线和协状态轨线。若问题正常(非奇异)，则这是一个继电器控制方式，称为砰一砰控制)(*t)(*),(sgn)(*tttxBtuT3、线性定常系统的最小时间控制问题的解法：⑴如何确定最优控制u*(t)设线性定常系统的状态方程为：0)0(),()()(XXtButAXtX其中，X：n×1维状态向量u：控制变量A，B分别为n×n，n×1矩阵约束条件：末端条件：1)(tu0ftX求，使系统状态从转移到所用时间最短，即使为最小)(*tu00)(XtX0)(ffXtXftftdtJ0⑵问题的求解①首先列写哈密顿函数：)()()()(1tButtAXtHTT②根据极小值原理分析可得：)(*sgn)(*tBtuT③有规范方程：BtBtAXtBXtAXXT)(sgn)()()(*BtT)(sgn*注：为标量函数，题意要求)(tu000)()(0)()(tATTTetttAtAXH代入得：)(*tuBetuTtAToTsgn)(*BeAtTosgn可见，的值完全由的符号决定但是，的确定是不容易的。因为它还和系统的状态变量有关系。通常采用的方法是：)(*tuoo先设一个，求出，求出，判定若为０，则即为所求；否则修正重复上述过程o)(t)(tX?0)(ftX)(t0⑶开关次数定理：设线性系统是正常的（不存在非奇异问题），若矩阵A的特征值均为实数，假定时间最优控制存在，并令其为则u*(t)的切换次数最多不超过（n-1）次，n为系统的维数。)()(tButAXX,.....2,1),(*rjtuj,1ju以下将根据极小值定理，开关次数定理及相平于状态空间分析，求u*例题分析1：时间最优控制问题ftJm