7.2-变分法

Ch.7最优控制原理目录(1/1)目录7.1最优控制概述7.2变分法7.3变分法在最优控制中的应用7.4极大值原理7.5线性二次型最优控制7.6动态规划与离散系统最优控制7.7Matlab问题本章小结变分法(1/1)7.2变分法本节在讨论变分法之前,先简单讨论多元函数的极值问题,然后引出泛函的极值问题。内容为多元函数的极值问题泛函欧拉方程横截条件欧拉方程和横截条件的向量形式多元函数的极值问题(1/1)7.2.1多元函数的极值问题多元函数极值问题可分为无约束条件极值问题、等式约束条件极值问题和不等式约束条件极值问题。下面分别讨论。无约束条件的多元函数极值(1/3)1.无约束条件的多元函数极值无约束条件的多元函数的极值问题讨论的是:假定多元函数f(x1,x2,…,xn)对其所有自变量都连续,且具有连续的一阶和二阶偏导数。将所有自变量x1,x2,…,xn记为向量x的形式,则问题为求x,使x=x*时,f(x)达到极小值。该问题可记为min()fxx无约束条件的多元函数极值(2/3)--定义7-1函数极小的定义是一个相对概念,并不是在函数的定义域上的一个绝对概念,其基本定义可表述如下。定义7-1若存在一个0,由‖x-x*‖所规定的x*的邻域内总有y(x*)y(x),则称点x*是函数y(x)的一个相对极小点,简称为极小点。□由数学分析知识可知,无约束条件时的多元函数极小值问题的解x*满足如下必要条件0dd)(d0d)(d**2xxxxxxxxxff无约束条件的多元函数极值(3/3)如果函数f(x)对x的二阶导数矩阵在x*为正定矩阵,则上述多元函数极小值问题的必要条件亦为充分条件,即是x*为该多元函数极值问题的解的一个充分条件。0dd)(d0d)(d**2xxxxxxxxxff有等式约束条件的多元函数极值(1/5)2.有等式约束条件的多元函数极值有等式约束条件的多元函数极值问题可描述为式中,g(x)为p维的向量变量x的向量函数,并假定其连续可微;g(x)=0即为等式约束条件。min()()0fs.t.xxgx有等式约束条件的多元函数极值(2/5)拉格朗日乘子法是解决有等式约束条件的函数极值问题的有效方法,其求解基本方法如下。1)先引入拉格朗日乘子=[12…p],定义如下拉格朗日函数2)该极值问题的解x*满足如下必要条件如果函数L(x)对x的二阶偏导数矩阵在x*为正定矩阵,则该必要条件亦为充分条件,即(,)()()Lfxλxλgx**2*(,)0,()0(,)0LLxλgxxxλxx有等式约束条件的多元函数极值(3/5)—例7-1例7-1求给定关于n维变量向量x的二次型标量函数在约束条件下的极小值。其中,e为m维常数向量;A,H和b分别为适宜维数的常数矩阵和向量;c为常数。**2*(,)0,()0(,)0LLxλgxxxλxx()fAcxxxbxexH有等式约束条件的多元函数极值(4/5)解先定义如下拉格朗日函数（就是引入约束条件乘系数）式中,为m维拉格朗日乘子向量,那么当(A+A)可逆时由约束条件Hx=e,有即(,)()LAcHxλxxbxλxe0LAAHxbλxλbxHAA1eλbHAAH1ebλ111AAHHAAH有等式约束条件的多元函数极值(5/5)将上述的表达式代入式(1),可得当矩阵H为行满秩矩阵时,矩阵H(A+A)-1H是可逆的,此时上述解成立。由极值问题的充分条件可知,当时,上述极值为极小值。11111AAAAHHAAHHAAxbbe2*(,)0LAAxλxx1(1)AAHxbλ0LAAHxbλx有不等式约束条件的多元函数极值(1/7)3.有不等式约束条件的多元函数极值有不等式约束条件的多元函数极值问题可描述为式中,g(x)为p维的向量变量x的向量函数,并假定其连续可微;式g(x)=0即为不等式约束,符号“”的意思为函数向量g(x)中每个元素“小于等于0”。min()()0fs.t.xxgx有不等式约束条件的多元函数极值(2/7)有不等式约束条件的函数极值问题的求解比等式约束条件的函数极值问题复杂。受前面讨论的引入拉格朗日乘子的启发,求解不等式约束的函数极值问题也引入了乘子的概念,其求解基本方法可由如下库恩-塔哈克(Kuhn-Tucker)定理给出。有不等式约束条件的多元函数极值(3/7)—定理7-1定理7-1(库恩-塔哈克定理)对上述不等式约束的极值函数问题,那么必存在p个不同时为零的数1,2,…,p,满足为式中,=[12…p]为库恩-塔哈克乘子向量;L(x,)为如下库恩-塔哈克函数****i1*1)()00;1,2,...,d()(,)d()2)0dd3)()01,2,...,ipiiiipgLfgipλgxxxλxxxxx)()(),(xgλxλxfL有不等式约束条件的多元函数极值(4/7)—例7-2例7-2求给定关于n维变量向量x的二次型标量函数解先定义库恩-塔哈克函数如下22,2min(,)220s.t.50xyfxyxyyyx2221212(,,,)2(2)(5)Lxyxyyyx有不等式约束条件的多元函数极值(5/7)根据库恩-塔哈克定理,极小值的必要条件如下:式中,现在依次考虑下述4种可能情况:(1)1=2=0,即在两个不等式约束的边界之内求解。此时,则由解得x=y=0。由于该问题的第一个不等式约束条件不满足,因此,不是极小解。21211222220,420(2)0,0(5)0,020,50LLxyyxyyyxyyx20,40LLxyxy有不等式约束条件的多元函数极值(6/7)(2)1=0,2≠0。因此,有:解得上述第一个解中20,故不是极小值解；第二个解中y+20不满足问题的约束条件,故不为该问题的极小值解；2222042050xyyyx2221150,6,61022xxxyyy有不等式约束条件的多元函数极值(7/7)只有第三个解满足库恩-塔哈克定理的所有条件,因此是该问题的极小值解。(3)类似前面求解过程,可知在1≠0,2=0及1≠0,2≠0两种情况下,该问题无解。综上所述,该极值问题的解为1,6xy2221150,6,61022xxxyyy泛函(1/14)7.2.2泛函变分法是研究泛函极值问题的一种经典方法,从17世纪末开始逐渐发展成为一门独立的数学分支。它在力学、光学、电磁学等方面有着极为广泛应用。下面先讨论泛函的基本概念。泛函是函数概念的一种扩充。函数表示从数到数的对应关系,如y(x)=2x2-x+1规定了自变量x和因变量y之间的对应关系,是数x到数y的一种映射。而泛函则表示函数y到数J的一种映射关系,见下面的例子。泛函(2/14)—最短弧长问题显然,上述弧长的积分式对于任意给定的连续可微的函数y(x)都存在对应的一个积分值,即存在函数y(x)到数S[(y(x)]的一种映射关系。因此,有下面泛函的定义。图7-2最短弧长问题最短弧长问题如图7-2所示,设y(x)是连接点(x1,y1)到(x2,y2)的一条曲线。若y(x)是连续可微的,则A,B两点的区间y(x)的弧长为xxyxySxxd)(1)]([212泛函(3/14)—定义7-2定义7-2对于某一类函数集合中的每一个函数y(x),都存在一个确定的数J与之对应,那么就称J为依赖于函数y(x)的泛函J,记为J=J[y(x)]或简记为J。相应地,自变量函数y(x)称为宗量y(x)。□从上述定义可知,泛函规定了数J与函数y(x)的对应关系,可理解为“函数的函数”。需要强调的是,上述定义中的宗量y(x)是某一特定函数的整体,而不是对应于某一自变量x的函数值y(x)。为强调泛函的宗量是函数的整体,有时将泛函表示为J=J[y(·)]。泛函(4/14)在泛函的定义中,强调泛函的宗量y(x)属于某一类函数。由泛函的定义所确定的宗量属于的函数类称为容许函数类或容许函数空间。如最短弧长问题中泛函S[y(x)]的容许函数类为通过A,B两点的连续可微或分段连续可微的函数。线性泛函是研究泛函极值问题的基础,下面先给出线性泛函的定义。泛函(5/14)—定义7-3定义7-3泛函J[y(x)]如果满足下列叠加性和齐次性两个条件J[y1(x)+y2(x)]=J[y1(x)]+J[y2(x)]J[cy(x)]=cJ[y(x)]式中,y1(x)和y2(x)为任意的两个函数;c为任意常数。此时,称J[y(x)]为线性泛函。线性泛函具有可叠加性和齐次性。泛函(6/14)泛函的极值则是在容许函数类中求得使泛函达到极值的函数。如最短弧长的例子中,就是从函数序列中求得一个使最短的函数。在不考虑约束的条件下,连接两点的是一条连接两点的直线。为导出泛函的极值条件,还需要定义宗量和泛函的变分。为此,不妨回顾一下函数微分的定义。泛函(7/14)若函数y=f(x)具有连续的导数,则它的增量可以表示如下上式右边第1项是x的线性函数,第2项是x的高阶无穷小量。因此,当x充分小时,第1项起主要作用,它与y很接近。所以,第1项为函数增量的线性主部,亦称为函数的微分,记为类似于上述变量x和函数y(x)的微分的定义,泛函宗量和泛函的变分的定义如下。),()()()(xxrxxfxfxxfyxxfyd)(d泛函(8/14)—定义7-4,7-5定义7-4泛函宗量的变分是指同一函数类中两函数之差,记为显然,宗量的变分y(x)也是独立的自变量x的函数。定义7-5若连续泛函J[y(x)]的增量可以表示为式中,右边第1项为y(x)的线性连续泛函,第2项为关于y(x)的高阶无穷小。那么,则将第1项称为泛函J[y(x)]的变分J,并记为0()()()yxysyx[()][()()][()]((),())((),())JyxJyxyxJyxLyxyxryxyx))(),((xyxyLJ泛函(9/14)如同函数的微分是函数的增量的线性主部一样,泛函的变分是泛函的增量的线性主部,所以,泛函的变分也可以称为泛函的微分,此时称泛函是可微的。引理7-1泛函J[y(x)]的变分为证明可微泛函的增量可以写作0[()()]JJyxyx[()][()()][()]((),())((),())JyxJyxyxJyxLyxyxryxyx泛函(10/14)由于L(y(x),y(x))是关于y(x)的线性连续泛函,且r(y(x),y(x))为y(x)的高阶无穷小,因此有故((),())((),())LyxyxLyxyx00((),())((),())LimLim()0()ryxyxryxyxyxyxJxyxyLxyxyrxyxyLxyJxyxyJxyxyJ))(),((Lim))(),(())(),((Lim)])([)]()([Lim)]()([0000泛函(11/14)—例7-3此引理