导波光学-第2讲

在光学得发展过程中，传统几何光学的基本理论早于波动光学。几何光学的基本方程——程函方程也可以完全从费马原理得到，而不必借助电磁场理论。但为了使光的传播理论统一在电磁场的理论框架之下，并得到传统几何光学不能得到的一些结果，我们将从电磁场理论出发，用短波长近似来得到光线传播的基本理论——射线光学理论。用射线光学理论分析波导的传输特性时，得到的结果物理概念清晰，易于理解；但这种理论只用于分析波导几何尺寸远大于光波波长的情形，这也是射线光学理论的局限性。第二节光线在介质中的传播特性◆反射定律、折射定律与全反射◆古斯—汉欣（Goos-Haerchen）位移◆射线光学基础光线在两种介质分界面上所表现出来的规律光线在一般介质（包括非均匀介质）中传播的规律◆反射定律、折射定律与全反射n1n2θtθrθi由电磁场的边界条件可推出（1）反射定律和折射定律（2）菲涅耳公式反映了入射光线、反射光线和折射光线方向之间的关系反映了入射光线、反射光线和折射光线振幅之间的关系若r表示反射振幅与入射光振幅的比值，则菲涅耳公式22211211'0022211211cossincossinTEnnnrEEnnn——TE偏振（E垂直于入射面）的波2222221111'002222211211cossincossinTMnnnnrHHnnnn——TM偏振（H垂直于入射面）的波●●●当n1n2，且1c=sin-1(n2/n1)时全反射临界角r小于1，说明只有部分光被反射。●当n1n2，且1c时2TEiTEre2TMiTMre|rTE|=|rTM|=1,光波被全反射，且反射光产生一定的相移。22211211sinarctan()cosTEnnn222211212211sinarctan()cosTMnnnnn◆古斯—汉欣（Goos-Haerchen）位移前面的讨论说明入射光在界面上实现全反射时，入射与反射在同一地点发生，且产生一个相移；但1947年古斯—汉欣的实验却证明了反射点与入射点有一段距离或位移，如图所示中A、B两点的位移2ZS，这一位移为古斯—汉欣位移。此位移的大小与入射角1，介质的折射率n1、n2及入射光的波长有关。理论上的解释为：实际的入射光波总有一定的空间宽度，即入射光波并不是严格的平面波，入射光线也不是一束严格平行的光线，每条光线的入射角是不一样的。根据这种假设可以推导古斯—汉欣位移的大小为122201122tan2sinszknn2212222222112101122tan2sincossinsnznnknn——TE波——TM波由此可得光线进入第二种介质中的深度为2220112222222222112101121sin1sincossinsknnxnnnknn波波TMTE由于古斯—汉欣位移的存在，在一个三层平板波导中光线传播的轨迹如下图所示，图中的xc和xs分别为光线进入包层和衬底的深度。因此，可以认为光线穿过介质的分界面在heff=h+xs+xc的厚度上，以Z字型的轨迹在波导内传播，我们把heff称为波导的有效厚度。这说明：考虑到古斯—汉欣位移之后波导芯区的有效厚度比实际厚度增加了。◆射线光学基础在前面我们分析了均匀介质分界面上光（此时光为平面电磁波）的反射，折射与全反射，并得到了全反射时存在着相位变化及古斯—汉欣位移，用平面电磁波分析简单波导（如均匀波导）是可以的，但遇到比较复杂的情况（如非均匀波导）就无能为力了。为此，下面我们讨论更一般的问题，即光在非均匀介质中传播的情况。均匀介质中沿x轴传播的电磁场随空间的变化可以写成所以一般情况下电磁场随空间变化的试探解可以写成000()iknxikxeeErEE000()iknxikxeeHrHH0()0()()ikerErEr0()0()()ikerHrHr光程函数()()ndsrr光程把以上两式代入单频情况下的麦克斯韦方程0()()iErHr00000()0()()00()()000()[()]()()()()()ikikikikikeeeikeerrrrrErErErErrErEr考虑到当0时，k0，上式第二项可以略去，这样上式可以近似写成方程左边为0000()()()krErHr0000()()()krErHr把试探解代入单频情况下的麦克斯韦方程iHE同理得000()()()krHrEr从这两个式子可看出：E0、H0和三个矢量方向之间的关系为右图所示。由于E0H0表示能流方向，所以是光线的传播方向E0H0由此可得到程函方程（作业）()()nrr它是光线理论的基本方程，此方程表明，在各向同性的介质中各点的电磁波的最大相位变化与该点的折射率成正比。程函方程不能直接解决射线所走路径的问题，从程函方程出发推导出射线所遵循的方程—射线方程为[()]()ddnndsdsrrr此方程是的r二阶微分方程，在已知折射率分布的情况下，由初始条件就可以得出射线的路径。dsr+drdrr[()]()ddnndsdsrrr由此方程可以推出●介质是各向同性的且为均匀分布的情况下，光线的轨迹是直线。●介质是各向同性的且为非均匀分布的情况下，光线的轨迹是曲线，且总是向介质折射率增大的方向弯曲。[]0ddndsdsrsrab此时ddsra常矢量braas显然射线的轨迹是直线r，s，a和b的关系如左图所示此时射线方程可写为ˆ()ˆ()()ssdidnnindsdsrrrˆ1()ˆ[()]()ssdidnnidsndsrrrˆsidˆsdidRdsRd因为ˆsdid所以ˆ1sdiddsdsRˆsdids的大小代表了射线的曲率，方向与ˆsi垂直且指向曲线的凹侧所以11ˆ()()nniRnrr若有一非均匀的介质，上方折射率为n,下方折射率为n,当一条射线向上斜射过去，它会怎么弯曲呢？ˆˆsndiidsRˆ1()ˆ[()]()nsidnniRnrdsrrˆˆˆ1()()nnniiinRRnRrr射线nnnnˆni由于R0，那么n(r)与之间的夹角必为锐角。ˆni习题：求自聚焦光纤内近轴光线的轨迹，已知光纤的折射率分布为2222201nnxy式中的n0和是常数。nn