函数y=ax2+k的图象及其性质2

教学目标:1会用描点法画出二次函数的图像2会说出二次函数图像的开口方向,对称轴,顶点坐标,增减性，极值。3培养学生经历由具体到一般的探索事物的规律的过程kaxy2kaxy2y=ax2(a≠0)a0a0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y轴y轴当x0时，y随着x的增大而减小。当x0时，y随着x的增大而增大。当x0时,y随着x的增大而增大。当x0时，y随着x的增大而减小。x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,抛物线的开口就越小.y=x2+1xy0-4-3-2-11234108671-123549y=x2-1例2.在同一坐标系中画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.………105202510…3210-1-2-3xy=x2+1………830-1038…3210-1-2-3xy=x2-1y=x2-1y=x2+1xy0-4-3-2-11234108671-123549y=x2+1抛物线y=x2+1的开口向上，对称轴为y轴,顶点坐标为(0,1)抛物线y=x2-1的开口向上，对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-1)抛物线y=x2+1由抛物线y=x2向上平移一个单位得到.抛物线y=x2+1由抛物线y=x2向上平移一个单位得到.平行吗解：列表y=2x221.510.50-0.5-1-1.5-2x224.54.58800.50.5画出函数y=2x2的图象做一做xyoy=x2y=2x2-4-3-2-11234123456789x-2y8-1.54.5-12-0.50.5000.50.5121.524.58xyoy=2x2-4-3-2-11234123456789函数y=2x2+1的图象是什么形状?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?它与y=2x2的图象有什么相同和不同?议一议做一做yoy=2x2-4-3-2-11234123456789x-2y9-1.55.5-13-0.51.5010.51.5131.525.59xy=2x2+11.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2x2+1y=2x2x1234-1-2-3-42134589-1-2o67y-310y=2x2y=2x2-1yx1234-1-2-3-42134589-1-2o67-310y=2x2y=2x2-2x1234-1-2-3-42134589-1-2o67y-310y=2x2y=2x2-30.25.0.5.0.75.-0.25-0.5.-0.75.0.x-110.25.0.5.0.75.1.y-0.25.-0.5.-0.75.-1.y=3x2想一想你知道函数y=3x2-1的大致图象和位置吗?0.25.0.25.0.5.0.75.-0.25-0.5.-0.75.0.x-11-0.25.-0.5.-0.75.-1.y=3x2-1二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2的图象向下平移一个单位得到x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2+1…………8642-2-4y-10-5510xOy=x2y=x2+152125函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同8642-2-4y-10-5510xOx…..-2-1012……y=x2……41014y=x2-2…………y=x2y=x2-22-1-2-12函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状，只是位置不同；当k0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到，当k〈0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。42-2-4-6-8y-10-5510xOy=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?上加下减相同上c下|k|观察图象的相互关系观察顶点的变化观察对称轴的变化观察增减性的变化-5542-2-41132354-3-3-2-1-1-4xy02212xy2212xy221xy二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象有什么关系？二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象当k0时向上平移k个单位得到.当k0时向下平移-k个单位得到.函数y=ax2+ky=ax2开口方向a0时,向上a0时,向下对称轴y轴y轴顶点坐标（0,0）（0,k）a0时,向上a0时,向下上加下减二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是y轴,抛物线对称轴是y轴,则二次函数没有一次项抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+5y=-3x2-2y=-x2+3向上y轴(0,5)y轴y轴向下向下(0,-2)(0,3)2.y=-2x2+5的图象可由抛物线y=-2x2经过得到的.它的对称轴是,顶点坐标是,在x0时.y值随x的增大而；与x轴有交点。沿Y轴向上平移5个单位Y轴（0，5）增大无(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到；y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到。（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是。(2)将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向平移个单位得到可由y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向平移个单位可得到y=x2+2的图象。上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4（4）抛物线y=-3x2+5的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，当x=时，取得最值，这个值等于。（5）抛物线y=7x2-3的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，当x=时，取得最值，这个值等于。下y轴(0,5)减小增大0大5上y轴(0,-3)减小增大0小-3（6）已知（如图）抛物线y=ax2+k的图象，则a0，k0；若图象过A(0,-2)和B(2,0)，则a=,k=；函数关系式是y=。〉〈1/2-21/2x2-2XYABO7.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图象的函数解析式为.8.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（-m,n）_________（在，不在）y=ax2+a的图象上.9.若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则K_______y=-3x2-2在10.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1,y1),(x2，y2)且x1＜x2＜0，则y1y2(填“＜”或“＞”)(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)在其图象上,且x2x40,0x3x1,|x2||x1|,|x3||x4|,则()x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1y2y3y4B.y2y1y3y4C.y3y2y4y1D.y4y2y3y1B（2）已知二次函数y=ax2+c，当x取x1,x2(x1≠x2,x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）A.a+cB.a-cC.–cD.cD)0(axa(3)函数y=ax2-a与y=在同一直角坐标系中的图象可能是（）A(4).某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.xyABOC415415解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4根据题意有A(-0.8,0),B(0.8,0)将x=0.8,y=0代入y=ax2+2.4得0=0.64a+2.4∴a=_涵洞所在抛物线的函数解析式为y=_x2+2.4(5).如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3米达到警戒线MN位置时,水面宽4米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?63NMBAxyc解:以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系,设抛物线的代数表达式为y=ax2+c.则B点坐标为(2,0),N点坐标为(2,3),63故0=24a+c,3=12a+c,解得a=-,c=6,14即y=-x2+6.14其顶点为(0,6),(6-3)÷0.25=12小时.5.3512xy(6)一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的距离为3.05m。1、球在空中运行的最大高度是多少米？2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？2．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线y=x2+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最低点。其中判断正确的是。①②③④二次函数y=ax2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+k(a0)y=ax2+k(a0)（0，k）（0，k）y轴y轴当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限);当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).当c0时,在x轴的下方(经过三,四象限);当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).向上向下当x=0时,最小值为k当x=0时,最大值为k在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：caxy2kaxy2二次函数y=ax²+k与=ax²的关系(1)图像都是抛物线,形状相同,开口方向相同.(2)都是轴对称图形,对称轴都是y轴.(3)都有最(大或小)值.(4)增减性相同.3.联系:y=ax²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平移|k|个单位得到的.(当k0时向上平移;当k0时,向下平移).驶向胜利的彼岸小结拓展回味无穷1.相同点:2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,k),(0,0).(2)最值不同:分别是k和0.