导波光学-第4讲

◆三层均匀平面波导的电磁场分析法●一般平面波导中模式的种类●三层均匀平面波导中模式场的场分布与本征值方程●模截止及波导中的传输模式数●归一化参量●平面波导中模式的种类平面波导在y方向折射率不发生变化，所以模式场只是x的函数，模式场的横向与纵向分量也只是x的函数，这样由模式场横向分量与纵向分量的方程可以推出0yzdEiHdxyzdHiEdx0zxydEiEiHdx0yxiEiHzxydHiHiEdxyxiHiE模式场的六个分量，可以化成独立的两组。这两组模式场分量（Ey，Hx，Hz）和（Hy，Ex，Ez）分别表示了TE、TM两种模的场，因此在平面波导中只存在TE、TM两种模。▲TE模模式场分量之间的关系0xyHE0yzdEiHdx对于TE模只要求出Ey即可求出其它的分量▲TM模模式场分量之间的关系xyEHyzdHiEdx对于TM模只要求Hy出即可求出其它分量。●三层均匀平面波导中模式场的场分布与本征值方程对均匀平面波导，模式场的亥姆霍兹方程22220(,)()(,)[(,)]ˆ[(,)]0ttttxyknxyxyixyzEEEE2222020dkndxEE可以写为由于TE模电场只有分量Ey，所以上式可以写成2222020yydEknEdxzx薄膜（芯区）衬底包层n3n1n2对右图所示平面波导的三个不同区域上式可以分别写为22220120yydEknEdx22220220yydEknEdx22232()0yydEknEdx20（芯区）（衬底）（包层）对于导模，芯区是振荡场，包层和衬底为衰减场22221knkn2200即12221()kn2012222(-)Pkn2012223()qkn20令上面的微分方程变为2220yydEEdx2220yydEPEdx2220yydEqEdx（芯区）（衬底）（包层）上面三个微分方程的通解分别为1cos()yEAx()2PxyEAew3qxyEAe这里A1，A2，A3和是待定常数由边界条件wxx,0ydEdxyE时和连续可以得到本征值方程为11tan()tan()Pqwm式中m=0，1，2，…由此可见，此方程与上节用射线分析法得到的方程是完全一样的。通过求解它就可以得到在给定入射光与波导参数情况下的不同模式（不同m）的传播常数值，从而进一步求出模场分布Ey，Hx和Hz。▲不同模式场场分布的特点芯区:对于m阶模，会出现m＋1个极大值，出现m个节点。衬底和包层:从后面的分析我们会得到，阶次m越大，值越小，P，q越小，从而使场延伸到衬底和包层的距离越长。●模截止及波导中的传输模式数若把TE，TM模的本征方程写成一个统一的式子，则本征值方程可写为111213tan()tan()Pqwmcc11312cc22112)(nnc23113)(nnc（对TE模）（对TM模）其中▲本征值方程的解2221/222211/2211222211222132132221tan[()]tan[()]nknkwmcnknkcnk00000122221/22211/21322101213222211tan[()]tan[()]NnNnnNkwmccnNnN即或平板波导的有效折射率N随波导芯区厚度w的变化关系曲线实线和虚线分别对应着为m=0，1，2三个TE和TM导模,wc0，wc1，wc2分别为TE0、TE1和TE2的截止厚度平板波导传播常数随入射光频率变化关系曲线其中c0,c1,c2分别为TE0、TE1和TE2模的截止频率▲模截止截止厚度截止频率模截止：给定的波导参数和入射光的频率，若某个导模模式传播常数的解不存在，则称这个导模模式处于截止状态。截止厚度：当N=n2时，薄膜的厚度称为截止厚度。122123213221201{tan[()]}cnnwmcnnknn122212(-)截止厚度的意义：当波导芯区的厚度小于某模式的截止厚度时，此导模及阶数高于此导模的模式是不存在的。（1）wc随m的增大而增大。（2）若入射光的频率增大，则wc变小，这说明对某一频率光波导不存在的模式，对其它光波，即比此频率高的光波，这种模式可能存在。（3）TM模的截止厚度大于同阶TE模的截止厚度。（4）当n2=n3时(称为三层对称平面波导)，有122212()cmwknn0对零阶模有wc=0，所以三层对称平面波导的零阶模永远不会截止。截止频率：当N=n2时，入射光的频率称为截止频率。12212321312222122121{tan[()]}()cnncmcwnnnn若波导中只能传输一种模式，（对平面波导这种模式即为TE0模）的情况，称为单模传输。我们可以推出给定入射光的频率，波导折射率时，单模传输条件为：00ccTETM()()给定波导参数时，单模传输的条件为00ccTETM()()00ccTMTE()()或应该说明的是：实际光波导的折射率相差不大因而TE0和TM0模的截止厚度、截止频率和截止波长都相差不大，为此在实际工程中，认为TE0和TM0模的截止厚度等近似相等，而将单模传输条件放宽到10ccTETE()()10ccTETE()()10ccTETE()()若已知波导参数和入射光的波长，可以求出波导中能够传输TE、TM模式的数量分别为1122221232212221221Int[()tan()1]TEnnwMnnnn11222221231221222231221Int{()tan[()]1}TMnnnwMnnnnn式中Int表示只取整数部分。波导中能够传输模式的总数量为TMTEMMM▲传输模式数●归一化参量为了方便，常常进行波导的归一化计算。几个无量纲归一化的参量定义归一化厚度(或归一化频率)22012Vkwnn归一化波导折射率(或归一化传播常数)2222202222221212(/)knNnPnnnn波导结构非对称的参量22222312()/()nnnn这样，可以得到TE模归一化的本征值方程21221221tan/(1)tan()/(1)VPmPPPP可见，若已知，可以根据此方程画出P2~V的关系曲线。若几个不同波导结构的非对称参量值相等，它们的P2~V的关系曲线完全一致。就等于一条曲线曲线可以代表相同的一类波导。这就是归一化的好处。作业：2，3，4，5，6