2014年高考浙江理数卷--第21题(2)-妙证(修正版)

2014年高考浙江理数卷第21题(2)妙证(作者:浙江宁波王国梁2014-06-8)题目：2014年高考浙江理数卷第21题21.（本题满分15分）如图，设椭圆C：22221(0)yxabab,动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限。（I）已知直线l的斜率为k，用a,b,k表示点P的坐标；（II）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.解:设00(,)Pxy是椭圆22221xyab上一点，且000,0xy则椭圆在P点处切线l方程为:00221xxyyab所以椭圆在P点处法线2l方程为:222200()()abxyabxy显然题设中的P点到直线1l距离恰等于坐标原点到此法线2l的距离，设它们为d，又222200224422001xyabdababxy于是由柯西不等式:2244442002222220000()()()xyabababxyxyab等号在220000::xyabxayb即230230ybxa时成立22abdabab当230230ybxa时，d最大值为ab。