平面直角坐标系知识点总结

平面直角坐标系平面直角坐标系的有关概念夯实基础一．有序数对在日常生活中，可以用有序数对来描述物体的位置，这样可以用含有两个数的组合来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作ba,。温馨提示ba,与ab,顺序不同，含义就不同。例如：用5,3表示第3列的第5位同学，那么3,5就表示第5列的第3位同学。例1：（1）在一层的电影院内如何找到电影票上所指的位置？（2）在电影票上，如果把“5排8号”简记为（5,8），那么“4排9号”如何表示？（8,3）表示什么含义？二．平面直角坐标系相关概念具体内容平面直角坐标系定义在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系两轴水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向原点两轴的交点O为平面直角坐标系的原点坐标平面坐标系所在的平面叫做坐标平面三．象限x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图。第一象限第二象限第三象限第四象限yOx温馨提示如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义，一般在表示横轴、纵轴的字母后附上单位。例2：设baM,为平面直角坐标系中的点。（1）当0,0ba时，点M位于第几象限？（2）当0ab时，点M位于第几象限？四．点的坐标对于坐标平面内的任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对ba,叫做点A的坐标，记作baA,，如图。1.已知坐标平面内的点，确定点的坐标先由已知点P分别向x轴、y轴作垂线，设垂足分别为A、B，再求出垂足A在x轴上的坐标a与垂足B在y轴上的坐标b，最后按顺序写成ba,即可。2.已知点的坐标确定点的位置若点P的坐标是ba,，先在x轴上找到坐标为a的点A，在y轴上找到坐标为b的点B；再分别过点A、点B作x轴、y轴的垂线，两垂线的交点就是所要确定的点P。例3：如图所示，在平面直角坐标系内有两点A、B。（1）分别写出它们的坐标；（2）在平面内找出一点C，使它的坐标为5,3。abOyxyxO4422掌握方法一．有序数对的应用方法表示物体的位置需要用两个数，这两个数顺序不同，表示的位置也不同。用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义。例1：如图是中国象棋一次对局时的部分示意图，若“帅”所在的位置用有序数对（5,1）表示，请你用有序数对表示其他棋子的位置。二．坐标平面中点的位置的确定确定点在坐标平面中的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面中的位置。例2：如图小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用30,40表示，那么20,10表示的是（）A.点AB.点BC.点CD.点D三．用坐标表示地理位置的方法用坐标表示地理位置时，一是要选择适当的位置为坐标原点，要以能简洁地确定平面内的点的坐标为原则；二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东南西北方向与地理位置方向一致；三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度。例3：根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置。小刚家：出校门向东走1500米，再向北走2000米。小强家：出校门向西走2000米，再向北走3500米，最后再向东走500米。小敏家：出校门向南走1000米，再向东走3000米，最后向南走750米。北西南OMABCD东平面直角坐标系点的坐标的有关性质夯实基础一．各象限内点的坐标的符号特征1.点yxP,在第一象限.0,0yx2.点yxP,在第二象限.0,0yx3.点yxP,在第三象限.0,0yx4.点yxP,在第一象限.0,0yx温馨提示四个象限之间均没有公共点。例1：若点nmP,在第三象限，则点nmQ,在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二．坐标轴上点的坐标特征坐标轴上点的坐标特征：1.点yxP,在x轴上.0,yx为任意实数2.点yxP,在y轴上.,0为任意实数yx3.点yxP,是坐标原点.0,0yx温馨提示①原点既是x轴上的点，又是y轴上的点。②点的横坐标或纵坐标为0，说明点在y轴或x轴上。yOx,,,,例2：指出下列各点所在象限或所在坐标轴：0,5A，31,2B，21,2C，0,0D，3,0E，23,32F。三．象限角的平分线上的点的坐标特征1.第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等。2.第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。温馨提示①原点既是x轴上的点，又是y轴上的点。②点的横坐标或纵坐标为0，说明点在y轴或x轴上。例3：已知点1,52mmP，当m为何值时：（1）点P在第二、四象限的角平分线上？（2）点P在第一、三象限的角平分线上？四．与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征1.平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等。2.平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等。温馨提示①若AB∥x轴，则11,yxA，22,yxB的纵坐标相等，即21yy；若11,yxA，22,yxB，且21xx，021yy，则AB∥x轴。②若CD∥y轴，则11,nmC，22,nmD的横坐标相等，即21mm；若11,nmC，22,nmD，且021mm，21nn，则CD∥y轴。例4：已知平面直角坐标系内两点aM,5，2,bN。（1）若直线MN∥x轴，则a，b；（2）若直线MN∥y轴，则a，b。五．点到坐标轴的距离点P的坐标为yx,，那么点P到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即y。点P到y轴的距离为这点横坐标的绝对值，即x。温馨提示①已知点的坐标可以求出点到x轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值。②由点到x轴、y轴的距离可以求出点的坐标，但要注意讨论。③点yxP,到原点的距离为22yx。例5：已知P点到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，求P点的坐标。六．平面直角坐标系内的图形变换1.用坐标表示对称（1）点P与点1P关于x轴（横轴）对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）点P与点2P关于y轴（纵轴）对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）点P与点3P关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数。简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”。温馨提示①点baP,关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标为ab,；关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标为ab,。②在平面直角坐标系中，作已知图形关于x轴或y轴对称的图像，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形。例6：已知在平面直角坐标系中，2,2nmA、mnB,1。（1）当m、n为何值时，A、B关于y轴对称？（2）当m、n为何值时，A、B关于x轴对称？（3）当m、n为何值时，A、B关于原点对称？2.用坐标表示平移（1）当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数a，纵坐标不变时，图形会水平向右或向左平移a个单位；在平面直角坐标系中，将点yx,向右（或左）平移a0a个单位长度，可以得到对应点yax,（或yax,）；（2）当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数b，横坐标不变时，图形会向上或向下平移b个单位；在平面直角坐标系中，将点yx,向上（或向下）平移b0b个单位长度，可以得到对应点byx,（或byx,）。温馨提示图形的平移是指坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动。在平移变换下，图形的形状及大小不变，变的仅仅是图形的位置。例7：如图，已知0,1A，1,1B，把线段AB平移，使点B移动到点4,3D处，这时点A移动到点C处。（1）画出平移后的线段CD，并写出点C的坐标；（2）如果平移时只能左右或者上下移动，叙述线段AB是怎样移到CD的。掌握方法一．利用点坐标的符号特征解题的方法各象限的坐标符号：第一象限内点的横、纵坐标皆为正数，即,；第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数，即,；第三象限内点的横、纵坐标皆为负数，即,；第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数，即,。例1：在平面直角坐标系中，若点P1,3mm在第二象限，则m的取值范围为（）A.31mB.3mC.1mD.1m二．点到坐标轴的距离的应用方法点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关。②距离都是非负数，而坐标可以是负数。例2：已知点5,11aP和1,22bP到x轴的距离相等，且21PP∥y轴，则ba的值为（）A.0B.-1C.1D.2三．利用图形的平移确定变化的坐标的方法yxOAB将一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，再把纵坐标都加上（或减去）一个正数b，相应的新图形就是把原图形先向右（或向左）平移a个单位，再向上（或向下）平移b个单位。例3：如图，BA,的坐标分别为0,2，1,0，若将线段AB平移至11BA，则ba的值为（）A.2B.3C.4D.5四．利用图形的对称确定变化的坐标的方法作图形的对称变换时，首先要找出关键点的对称点。关于x轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，点的纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称时，横、纵坐标都互为相反数。例4：如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点B的坐标分别为2,3和2,3，则矩形的面积为。yxO1,0B0,2A2,1aBbA,31