中考复习专题之三角函数与几何结合

1与三角函数有关的几何题例1、如图3，直线AB经过⊙O上的点C，并且OAOB，CACB，⊙O交直线OB于ED，，连接ECCD，．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BCBDBE，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan2CED，⊙O的半径为3，求OA的长．析解：（1）证明：如图6，连接OC．OAOB，CACB，OCAB．AB是⊙O的切线．（2）BC2=BD×BE．ED是直径，90ECD．90EEDC．又90BCDOCD，OCDODC，BCDE．又CBDEBC，BCDBEC△∽△．BCBDBEBC．∴BC2=BD×BE.（3）1tan2CED，12CDEC．BCDBEC△∽△，12BDCDBCEC．设BDx，则2BCx．又BC2=BD×BE，∴（2x）2=x(x+6)解之，得10x，22x．0BDx，2BD．325OAOBBDOD．22、已知：如图，AB是⊙O的直径，10AB,DC切⊙O于点CADDC，，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：BCEC;（2）若4cos5BEC,求DC的长．3、如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．解答：（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°．（2）证明：在△ABC中，∵cosC=，∴∠C=60°．又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC．∴BC是⊙O的切线．（3）解：∵点M是的中点，∴OM⊥AE．在Rt△ABC中，∵BC=2，∴AB=BC•tan60°=2×=6．∴OA==3，∴OD=OA=，∴MD=．点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．4、如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD∥BC．（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）求证：∠E=∠ACB；（3）若AD=1，，求BC的长．DCBOAE3分析：（1）若⊙O与EC相切，且切点为D，可过D作EC的垂线，此垂线与AC的交点即为所求的O点．（2）由（1）知OD⊥EC，则∠ODA、∠E同为∠ADE的余角，因此∠E=∠ODA=∠OAD，而AD∥BC，可得∠OAD=∠ACB，等量代换后即可证得∠E=∠ACB．（3）由（2）证得∠E=∠ACB，即tan∠E=tan∠DAC=，那么BC=AB；由于AD∥BC，易证得△EAD∽△EBC，可用AB表示出AE、BC的长，根据相似三角形所得比例线段即可求出AB的长，进而可得到BC的值．解答：（1）解：（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等）．（2）证明：连接OD．∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠EAD=90°．∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°﹣∠EDA．又圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC．∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°﹣∠EDA．∴∠E=∠ODA；又OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E．）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB．（3）解：Rt△DEA中，tan∠E=，又tan∠E=tan∠DAC=，∵AD=1，∴EA=．Rt△ABC中，tan∠ACB=，又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC．∴=，∴可设AB=，BC=2x，∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC．∴=，即．∴x=1，∴BC=2x=2．4点评：此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知识，能够准确的判断出O点的位置，是解答此题的关键．5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：点D是BC的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；（2）相切．连接OD，证明OD⊥DE即可．根据三角形中位线定理证明；（3）由已知可求BD，即CD的长；又∠B=∠C，在△CDE中求DE的长．解答：（1）证明：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴D是BC的中点；（2）DE是⊙O的切线．证明：连接OD．∵BD=DC，OB=OA，∴OD∥AC．∵AC⊥DE，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（3）解：∵AB=9，cosB=，∴BD=3．∴CD=3．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴cosC=．∴在△CDE中，CE=1，DE==．点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大．6、如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．解答：（1）证明：连接OD．∵O为AB中点，D为BC中点，5∴OD∥AC．∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥OD．∴DE⊥AC．（2）解：过O作OF⊥BD，则BF=FD．在Rt△BFO中，∠B=30°，∴OF=OB，BF=OB．∵BD=DC，BF=FD，∴FC=3BF=OB．在Rt△OFC中，tan∠BCO====．点评：本题比较复杂，综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性．7、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．（1）求证：OE∥AB；（2）求证：EH=AB；（3）若，求的值．分析：（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB；（2）连接OF，求出EH=OF=DC=AB．（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答．解答：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C，∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC，∴OE∥AB．（2）证明：连接OF．∵⊙O与AB切于点F，∴OF⊥AB，∵EH⊥AB，∴OF∥EH，又∵OE∥AB，∴四边形OEHF为平行四边形，∴EH=OF，∵OF=CD=AB，∴EH=AB．（3）解：连接DE．∵CD是直径，∴∠DEC=90°，则∠DEC=∠EHB，又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC，∴=，∵=，设BH=k，则BE=4k，6EH==k，∴CD=2EH=2k，∴===．点评：本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题．8、如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sin∠E的值．分析：（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；（2）根据∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．解答：（1）证明：方法1：连接OD、CD．∵BC是直径，∴CD⊥AB．∴AC=BC．∴D是AB的中点．∵O为CB的中点，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴OD⊥EF．∴EF是O的切线．方法2：因为AC=BC，所以∠A=∠ABC，因为∠ADF=∠EDB（对顶角），OB=OD，所以∠DBO=∠BDO，所以∠A+∠ADF=∠EDB+∠BDO=90°．∴EF是O的切线．（2）解：连BG．∵BC是直径，∴∠BGC=90°．∴CD==8．∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG，∴BG=．∴CG=．∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF．∴∠E=∠CBG，∴sin∠E=sin∠CBG=．点评：考查切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点，再证垂直即可．9、如图9，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C7两点，tan∠OCB=21.（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是41；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.图9【答案】解：（1）∵y=kx-1与y轴相交于点C，∴OC=1∵tan∠OCB=OCOB21∴OB=21∴B点坐标为：021，把B点坐标为：021，代入y=kx-1得k=2（2）∵S=y21OB∵y=kx-1∴S=1-x22121∴S=4121x（3）①当S=41时，4121x=418∴x=1，y=2x-1=1∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为41②存在.满足条件的所有P点坐标为：P1(1,0),P2(2,0),P3(2,0),P4(2,0).……………………………12分