厦门理工学院理论力学第五章点的运动学概述

第二篇运动学研究物体运动的几何性质点和刚体运动的描述（运动方程）点的运动特征量（轨迹、速度和加速度）刚体运动特征量（角速度和角加速度）第二篇运动学1、运动学的任务2、明确两个基本概念物体的空间位置必须说明它是对哪个物体而言的运动学中涉及的时间概念有两个：瞬时和时间间隔能选用合适的方法描述点的运动和刚体的运动，能熟练计算速度和加速度，角速度和角加速度；能正确分析刚体的平面运动，能熟练确定速度瞬值，计算刚体角速度，熟练选用不同的方法求平面图形上各点速度和角速度。正确选择动点和动系，应用合成运动的方法求点的速度和角速度。3、要求4、难点和重点点的合成运动刚体的平面运动第二篇运动学（1）参考体:要确定某物体在空间的位置，必须选取另一不变形的物体作为参考体。如:书和黑板擦放在讲台上，书在运动，选黑板擦为“参考体”。（2）参考坐标系:如将坐标系固连于参考体上，就构成参考坐标系。若某一物体相对参考坐标系是静体，则对于此坐标系来说，物体静止；反之运动。（3）静坐标系：一般固连于地球上的坐标系为参考坐标系，通常称为静坐标系。5、运动学基本概念第二篇运动学（4）瞬时：对应于某一事件发生或终止的时间。如上课开始时。（5）时间间隔:两个瞬时之间的时间数。如得开始与结束之间的时间数45分钟。（6）轨迹:点在空间运动所经过的路线。直线运动,曲线运动。第二篇运动学§5－1矢量法§5－2直角坐标法§5－3自然法第五章点的运动学第二篇运动学1.运动方程()trr选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的位置矢量，简称矢径。当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即以矢量表示的点M的运动方程第一节矢量法MrO2.速度动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr0limtrdrvrtdt第一节矢量法3.加速度220ddlimddttttvvra点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。a=vr第一节矢量法如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，…，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。速度矢端曲线OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向确定第一节矢量法这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。123()()()xftyftzftxyzrijk如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r可表示为：MrOkijyyxxzz第二节直角坐标法xyzvrijk速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。1、速度若已知速度的投影，则速度的大小为222zyxv其方向余弦为cos(,),cos(,),cos(,)xyzvvvvivjvk第二节直角坐标法xyzvvvvijkxyzxyzaaaavr=ijk=ijk加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。2、加速度若已知加速度的投影，则加速度的大小为222222zyxaaaazyx其方向余弦为cos(,),cos(,),cos(,)xyzaaaaiajak第二节直角坐标法例1下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄OA长为r，自水平位置开始以匀角速度w转动，即j=wt，滑槽K-K与导杆B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。BABOKMKwxjx第二节直角坐标法解：取M点的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标圆点。M点的坐标为：sinsinxOMOArjjBABOKMKwxjx将j=wt带入上式，得M点的运动方程：sinxrtw将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww第二节直角坐标法例2椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以链相连接，而规尺A、B两端分别在相互垂直的滑槽中运动，如图所示，已知：OC=AC=BC=l，MC=a，j=wt，求规尺上点M的运动方程，运动轨迹，速度和加速度。第二节直角坐标法如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。运动方程：)(tss第三节自然法1、弧坐标在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点P在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点P在轨迹上的弧坐标。t1t'1tM1在点的运动轨迹曲线上取极为接近的两点M和M1，这两点切线的单位矢量分别为t和t1，其指向与弧坐标正向一致。将t1平移到点M，则t和t1’决定一平面。令M无限趋近点M1，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与t、n构成右手系。第三节自然法2、自然轴系即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即密切面法平面切线主法线副法线Mnbttbn第三节自然法曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径，曲率半径用ρ表示。3、曲率01dlimdsSSjjMM'△s△jtt'第三节自然法2sin2jjττ00d1limlimdsssssjττnnOMM'tt't△j△s△t第三节自然法01dlimdsSSjj当Δt→0，Δ→0，Δt与t垂直，其单位向量用n表示ddd()dddsttstrrv()tsvτ0dlimdsssrrd1dsrddsrτ)(tssτ0sP´rsrPor(())strr第三节自然法4、点的速度5、点的切向加速度和法向加速度dddd()ddddnvvvtttttvτaττaa由于2ddddddddddnssvvvvttsstτττan所以2ddvvtaτndvavdtttattt第三节自然法上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值（大小）随时间的变化率；分矢量an的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。2ddvvtaτn第三节自然法注：判别点作加速运动还是减速运动，是用at，而不是用a，当v与at同号时是加速运动，反之做减速运动。（p152思考题5-3）全加速度为at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式决定：22tnaaa大小：方向：tnaaatntanaa第三节自然法思考题1、点作曲线运动时，点的位移、路程和弧坐标是否相同？答案：不相同（1）位移是矢量，路程是纯正量，弧坐标是代数量；（2）路程和弧坐标的大小相同，位移的大小与路程、弧坐标的大小不相同。第三节自然法2、点做曲线运动时，下述说法是否正确：（1）若切向加速度为正，则点作加速运动（2）若切向加速度与速度符号相同，则点作加速运动（3）若切向加速度为零，则速度为常矢量。第三节自然法3、当点作曲线运动时，点的加速度a是恒矢量，问点是否作匀变速运动？第三节自然法4、判断下列情况是否存在？答案：A、B存在，C、D、E不存在。ABCDEavaaaavvvv第三节自然法5、下述各种情况下，动点的全加速度、切向加速度和法向加速度三个矢量之间有何关系？(1)点沿曲线作匀速运动(2)点沿曲线运动，在该瞬时其速度为零(3)点沿直线作变速运动(4)点沿曲线作变速运动第三节自然法例3下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t以s计。求卷筒边缘一点M在t＝4s时的速度和加速度。解：此时M点的切向加速度为：2td4cm/sdvatv＝4×4＝16cm/s当t=4s时速度大小为：（方向？）d4dSvttOMRM'A0AM0y第三节自然法M点的法向加速度为：2216/nvacmsRM点的全加速度为：222tn16.5cm/saaatntan||0.25arctan0.25142'aa第三节自然法例4杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知φ＝wt(w为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系。则即为小环M的运动方程。sin2cos2xRyRsin2cos2xRtyRtww2cos2xvxRtww2sin2yvyRtwwABMOjxyj2第三节自然法故M点的速度大小为wRvvvyx222其方向余弦为cos(,)cos2xvvjvicos(,)sin2yvvjvj24sin2xxavRtww24cos2yyavRtww故M点的加速度大小为2224wRaaayxABMOjxyj2vxvyva第三节自然法其方向余弦为:MMjRoj例5半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，，试分析轮子边缘一点M的运动。twj第三节自然法取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为)sin(sinjjjROMACx)cos1(cosjjROMOCy这是旋轮线的参数方程。joRCAxyM第三节自然法M点的速度为：jRiRjyixv)sin()cos1(jjjj当M点与地面接触，即时，M点速度等于零。jk2joRCAxyM22sincosaxiyjrtirtj第三节自然法