第06章点的运动学

理论力学多媒体教材第六章点的运动学§6-1矢量法第六章点的运动学§6-2直角坐标法运动学引言§6-3自然法例题运动学引言静力学:研究了物体在力系作用下的平衡条件运动学:研究物体运动的几何性质的科学研究对象:点（质点），刚体目的：1.为学习动力学打基础2.为研究分析机构的运动打基础参考体：研究一个物体的运动，要选取另一个物体作为参考，该物体称为参考体参考系:与参考体固连的坐标系称为参考系点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具有独立应用意义。本章将研究点的简单运动，研究点相对某一个参考系的几何位置随时间变动的规律，包括点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度等。第六章点的运动学§６－1矢量法选取参考系上某确定点Ｏ为坐标原点，自点Ｏ向动点Ｍ作矢量r，称为点Ｍ相对原点Ｏ的位置矢量，简称矢径。)(trr动点Ｍ在运动过程中，其矢径r的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。矢径r的矢端曲线就是动点Ｍ的运动轨迹。ijkxyzMrO1、运动方程当动点Ｍ运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数.ijkxyzMrO设点M经过Δt达到点M′rMM位移Mr2、动点的位移动点的速度等于它的矢径r对时间的一阶导数，是矢量。3、动点的速度dtrdtrvtlim0速度速度方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。速度单位:m/s量纲：LT-1ijkxyzMrO运动轨迹v动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数。是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。加速度单位:m/s2量纲：LT-24、动点的加速度220limdtrddtvdtvat动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点Ｍ的切线相平行。加速度的方向vaM运动轨迹vvvaMMM速度矢端曲线O速度矢端曲线：连接各速度矢量的端点Ｍ，Ｍ´，Ｍ，就构成了矢量v端点的连续曲线。返回§６－2直角坐标法动点Ｍ在任意瞬时的空间位置可以用它的三个直角坐标x、y、z表示。kzjyixr)()()(321tfztfytfxijkxyzMrO1、运动方程kdtdzjdtdyidtdxdtrdv2、动点的速度dtdzvdtdyvdtdxvzyx,,即：速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。222zyxvvvvvvkvvvjvvvivzyx),cos(),cos(),cos(，，速度v的大小速度v的方向3、动点加速度则有222222dtzddtdvadtyddtdvadtxddtdvazzyyxx加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的速度在直角坐标轴上的投影对时间的一阶导数；等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。kdtzdjdtydidtxdkdtdvjdtdvidtdvdtvdazyx222222加速度的大小加速度的方向222zyxaaaaaakaaajaaaiazyx),cos(),cos(),cos(，，返回利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法称为自然法。动点Ｍ在轨迹上的位置由弧长确定，弧长s为代数量,称它为动点Ｍ在轨迹上的弧坐标。弧坐标(自然坐标系）设动点Ｍ的轨迹为如图所示的曲线，则动点Ｍ在轨迹上的位置可以这样确定：M)()(Os在轨迹上任选一点Ｏ为参考点，并设点Ｏ的某一侧为正向;§6-3自然法1、运动方程)(tfs点沿轨迹由M到M´，经过Δt时间,其矢径有增量Δr。dtdststrv||lim||lim||速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数。dtdsv2、点的速度当Δt→0时||||||sMMrsMMr速度的方向沿弧坐标的切线方向。因此点的速度矢可写为：dtdsvv建立一自然轴系nbbnτ是切线方向的单位矢量，n是法线方向的单位矢量，b是副法线方向的单位矢量||lim1s曲率定义为曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。曲率的倒数称为曲率半径。如曲率半径以ρ表示，则有：sMM在曲线运动中，轨迹的曲率或曲率半径是一个重要的参数。nnssdsd1limlim所以：3、点的切向加速度和法向加速度dtvda两项矢量•第一项是反映速度大小变化的加速度，记为aτ，称切向加速度；•第二项是反映速度方向变化的加速度，记为an，称法向加速度。dtdsvvdtdvdtdvdtdva切向加速度反映点的速度值对时间的变化率。它的数值等于速度的代数值对时间的一阶导数；或者等于弧坐标对时间的二阶导数，方向沿着轨迹切线。nvdtdsdsdvdtdvan2ndsd1法向加速度反映点的速度方向变化的快慢程度，它的大小等于速度平方除以曲率半径，它的方向沿着主法线方向，指向曲率中心。2vadtdvan切向加速度表示速度大小的变化率，法向加速度表示速度方向的变化；v，aτ的符号相同时，点作加速运动v，aτ的符号相反时，点作减速运动naaaaannMvanaaMvanaa沿着副法线上加速度ab=022naaaaanaaaan),cos(),cos(，全加速度大小为全加速度方向为：特殊情况，当aτ=常量，动点运动为匀变速曲线运动。dtadvvdtdstvvdtadvo0tavvototssdttavvdtdso00)(221tatvssoo返回实例例：椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以较链相接，而规尺A、B两端分别在相互垂直的滑槽中运动，如图所示。已知：OC=AC=BC=l,MC=a,φ=ωt,试求规尺上点Ｍ的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。MABxyCO解：1）取直角坐标系Ｏxy如图所示2）建立点M的运动方程talysin)(消去时间t，得轨迹方程1)()(2222alyalxtalxcos)(3）点的速度：taldtdyvycos)(talysin)(talxcos)(MABxyCtaldtdxvxsin)(talaltaltalvvvyx2cos2]cos)([]sin)([222222talaltalvvjvtalaltalvvivxxcos2cos)(),cos(cos2sin)(),cos(22224）点的加速度：taldtyddtdvataldtxddtdvayyxxsin)(cos)(222222talvycos)(talvxsin)(talaltalaajatalaltalaaiayx2cos2sin)(),cos(2cos2cos)(),cos(2222talaltaltalaaayx2cos2]sin)([]cos)([222222222选题例:已知点的运动方程为x=2sin4t，y=2cos4t，z=4t，求点的运动轨迹的曲率半径ρ解：tvx4cos8tvy4sin84zv点的速度为：速度大小为：m/s80222zyxvvvvtax4sin32ta4cos32y0zam/s232222zyxaaaa点的加速度为：全加速度大小为：而点的切向加速度为：0dtdva32802vaanm5.2求得：选题例：半径为r的轮子沿着直线轨道无滑动的滚动，设轮子转角为ψ=ωt。求用直角坐标和弧坐标表示轮缘上一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度、和法向加速度。MyxO1O解：取点M与直线轨道的接触点O为原点.建立直角坐标系Oxy,当轮子转过ψ角时，轮子与直线的接触点为C，因为纯滚动，则trrMCOC直角坐标系表示M点的运动方程为)cos1(cos)sin(sin111trMOCOyttrMOOCx上式对时间求导，得M点的速度：trvtrvyxsin)cos1(M点的速度大小为)2(02sin2cos2222ttrtrvvvyxM点的速度方向2cos),cos(2sin),cos(tvvjvtvvivyxMyxO1OC2vtrvtrvyxsin)cos1(trvtrvyxsin)cos1(M点的加速度为：trdtdvatrdtdvayyxxcossin22MyxO1OC2v222raaayxM点的加速度方向cos),cos(sin),cos(taajataaiayx得M点全加速度aMyxO1OC2va2ra2sin2trv2cos2trdtdva而M点的切向加速度：2sin222traaan所以，M点的法向加速度为：MyxO1O返回