奇妙的图形密铺

《苏教版小学数学教材中数学史的渗透的实践研究》案例案例一：奇妙的图形密铺教学内容：苏教版义务教育课程标准实验教科书五下P86~87。教学目标：1、通过观察生活中常见的密铺图案，使学生初步理解密铺的含义。2、通过拼摆各种图形，认识一些可以密铺的平面图形，初步探索密铺的特点，了解密铺的条件。在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。教学重点：掌握密铺的特点，知道哪些平面图形可以进行密铺。教学难点：理解密铺的特点，了解密铺条件，能进行简单的密铺设计。教学过程：一、感受密铺——观察与理解1.谈话导入：同学们，老师这有一幅图片，你能看出是从哪里拍来的吗？课件出示：生答：某一个墙面。师：那你能告诉大家它是用什么形状的瓷砖铺成的吗？生：长方形。依次出示：师：这些呢？生：可能是地面或墙面，分别用正六边形和正方形瓷砖铺设而成。师：我们常用这样的图形铺设墙面或地面，有什么好处呢？生：美观，平整，无空隙等。师：如果只用圆形地砖铺设地面，好不好？为什么？出示幻灯片生：不好。会有空隙。（师板书：空隙）师：那再铺一层不就行了？动态演示生：这样也不行，会有重叠。（师板书：重叠）师：也就是咱们如果只用圆形地砖铺设地面要么就有空隙，要么就会重叠。再回过头来看，刚刚的三幅图片，它们铺的时候有什么共同特点？生：既无空隙，又不重叠。（师补全板书：既无空隙，又不重叠，铺在平面上）师小结：无论什么形状的图形，如果能既无空隙、又不重叠地铺在平面上，这就是平面图形的密铺。2、从刚出示的几幅图中，你知道哪些图形能够密铺吗？（正六边形、长方形、正方形）3.继续出示图片：课件出示：下面的三幅图，可以看作是密铺吗？为什么？生：第一幅图是密铺，因为每个三角形之间既没有空隙，也不重叠；第二、第三幅图都不是密铺，因为第二幅图图形之间有空隙，第三幅图图形之间是重叠的。3.联系生活、揭示课题。师：既然密铺的图形奇妙而美丽，生活中也有很多咱们一起来欣赏。观看课件：生活中的密铺现象。（水立方，拼图，地面，墙面）师：的确，我们的生活离不开密铺，密铺给我们的生活带来了丰富的变化和美的享受。今天，我们就一同走进图形密铺世界。（板书：图形密铺）二、探究密铺——猜想与验证(一)我们先来研究一种平面图形的密铺1.课件出示：下面哪些图形也能密铺？2.学生猜测。3.动手操作、实践验证。(1)师：那么这些猜测都对吗？怎样知道大家的猜测是否正确呢？就让我们一起来动手来操作验证吧。学生动手操作交流。4.汇报结果、展示交流。师：哪个小组说说你们的发现？生汇报：能密铺的图形有平行四边形、正三角形、等腰梯形。不能密铺的有圆形与正五边形。师课件展示部分作品验证。5、归纳：通过刚才大家操作验证，我们知道正五边形、圆不能单独密铺平面，其他五种图形都能单独密铺一个平面。小结：正五边形和圆不能够密铺。6、延伸：师：咱们知道正三角形能密铺，那一般的三角形呢？为什么？（同桌交流）生：我觉得能。可以将两个完全一样的三角形通过旋转平移转化为平行四边形。之前验证了平行四边形能密铺。所以一般的三角形能密铺。师：那大家还能想到两个完全一样的什么图形能组成平行四边形？（梯形）（课件演示转化过程）小结：形状、大小完全相同的三角形或梯形可以密铺。7、猜一猜怎样的图形能够密铺呢？？学生说明猜想老师给大家准备了正多边形的密铺阅读材料，看了也许能给大家启发哦。学生自学阅读材料1——正多边形的密铺(1)学生汇报收获(正方形，它的每个角都是直角，那么4个正方形拼在一起，在公共顶点处的4个角，正好拼成一个360度的周角。正六边形的每个角都是120度，3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的3个角度数的和正好是360度，正三角形的每个内角都是60度，6个正三角形拼在一起时，在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。)(2)师：正五边形不能密铺，现在你能解释了吗？生：360不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角处不能保证没有空隙或重叠现象，所以正五边形不可以密铺。出示：360÷108=3……36（3）师：正八边形能密铺吗？解决这个问题，要知道什么条件呢？生：只要知道正八边形的一个内角是多少度就行了。师出示：（正八边形每个内角135°）现在你能判断了吗？生：能。360÷135=2……90，正八边形不能密铺。（课件演示）（4）现在你能再说说看怎样才能密铺吗？小结：一周有360度，如果能正好把这360度铺严，（在公共顶点上几个角度数的和正好是360度）就可以进行密铺。（5）师：平行四边形，长方形和梯形可以进行密铺，它们都是特殊的四边形，你想提出什么问题呢？生：任意的四边形可以进行密铺吗？通过动手拼一拼验证一下猜想。四人小组，动手验证交流。汇报，演示。师：通过动手去拼，发现任意的四边形可以进行密铺。那你能根据咱们刚刚总结的规律解释一下吗？生：公共顶点处四个角正好是四边形四个内角，四边形内角和360°，所以任意的四边形可以密铺。(二)两种平面图形的密铺1、用同一种平面图形密铺图形会较为单调，看看下面的图形，与之前有何不同？（出示四幅组合密铺图形）生：之前是一种图形单独密铺，这几幅图是由两种或以上的图形组合密铺。师：你有什么感受？生：很漂亮，美观，色彩鲜艳等。小结：可以用同一种平面图形密铺,但生活中，常常为了使图案更加美观，可以用两种或者两种以上平面图形组合密铺。2、用同一种平面图形如果不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?课件演示：小结：用同一种平面图形如果不能密铺,可以用两种或者两种以上平面图形组合密铺。3、七巧板欣赏了这么多美妙的密铺图案，想不想自己动手试一试？①铺一铺：同桌合作，选几种不同的图形铺一铺，把你的作品保留在桌面上；（4）小结延伸通过刚才拼摆，你有什么发现？小结：原来，不仅用一种平面图形密铺一个平面，用两种甚至更多的图形也能密铺成一个平面。设计师正是将数学与艺术的结合，用密铺的方法为我们设计了许多赏心悦目的图案。三、欣赏与了解（1）出示七巧板，七巧板表面这个图形属于密铺吗？它是由哪几种图形密铺而成的？你能从七巧板中选出几种不同的图形密铺一个平面吗？（2）操作要求:②品一品：小组成员相互欣赏和介绍各自的作品。（3）学生作品欣赏与交流。古往今来，许多艺术家、数学家对密铺都有浓厚的兴趣，咱们一起来了解密铺的历史吧。（1）学生阅读材料2——密铺的历史（2）生发表感受与收获师：咱们刚刚都是用几何图形进行密铺，荷兰的艺术家埃舍尔用许多奇特的图形组成了密铺，像是人物、动物、甚至是一些凭空想象的事物，想不想一起来看看？生：想。出示埃舍尔人物图片及四幅作品展示。师：你看出是由什么图形密铺而成的吗？学生欣赏并说一说自己的发现（骑士和马、鸟、螃蟹、小丑）四、回顾与总结1、课后任务：自己设计一幅漂亮的密铺作品2、谈话：同学们，今天我们一起研究了图形的密铺，你有什么收获？师总结：是的，密铺就在我们的身边，无时无刻不在装点着我们的生活！希望大家学了今天的知识，能用眼睛去发现美，用心灵去感受美，用智慧去创造美。同时，它还是一门学问，在美丽的密铺后，还有太多的数学奥秘等待我们去探索。数学史料密铺的历史1619年——数学家奇柏（J.Kepler）第一个利用正多边形铺嵌平面。1891年——苏联物理学家费德洛夫（E.S.Fedorov）发现了十七种不同的铺嵌平面的对称图案。1924年——数学家波利亚（Polya）和尼格利（Nigele）重新发现这个事实。密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺术家都在这方面进行过研究。最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔（M.C.Escher）与密铺。Escher于1898年生于荷兰。他到西班牙旅行参观时，对一种名为阿罕拉（Alhambra）的建筑物有很深的印象，这是一种十三世纪皇宫建筑物，其墙身、地板和天花板由摩尔人建造，而且铺了种类繁多、美仑美奂的马赛克图案。Escher用数日的时间复制了这些图案，并得到了启发，创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案，这些图案包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴，甚至是他凭空想象的物体。他创作的艺术作品，结合数学与艺术，给人留下深刻的印象，更让人对数学产生了另一种看法。案例二：有趣的七巧板教学内容:苏教版二年级(上册)第28-29页。教学目标：1、通过阅读寻找出有关七巧板的资料，获取有用的知识，为利用七巧板拼摆图形，进一步丰富学生对图形的感性认识奠定基础。2、通过拼摆等操作活动，培养学生的观察、操作、想象和一定的创造能力，发展空间观念。3、通过这节课让学生掌握寻找资料的方法，并养成数学阅读的习惯，在阅读中增强民族自豪感。教学重难点：1、通过阅读寻找出有关七巧板的资料，进一步丰富学生对图形的感性认识。2、通过这节课让学生掌握寻找资料的方法，并养成数学阅读的习惯，在阅读中增强民族自豪感。教学准备：课件、七巧板学具教学过程：一、创设情境，导入新课同学们今天老师带来了一个谜语，想请同学们来猜谜，注意听：一二三四五六七，七个兄弟在一起，齐心合力拼图形，千变万化真神奇。（七巧板）是的，今天就让我们一起来认识这个新朋友，看看它有哪些本领。（板书：七巧板）二、介绍七巧板（1）集体阅读在课前大家收集了许多关于七巧板的资料，谁来当小老师给大家说一说（指名说）你是怎样收集到这些资料的？（上网、书店、图书馆）还有谁想说？（同桌说）（2）交流体会小朋友真了不起，收集了这么多关于七巧板的资料，听了这些故事你有什么感受？（指名说）（3）小结七巧板是古时候我们中国人发明的一种非常有趣的玩具，利用它可以重新组合成几百种不同的图形呢!你们瞧(屏幕出示很多图)，变化多不多呀?外国朋友对我们中国的七巧板也很感兴趣，还给它取了个神奇的名字叫东方魔板。你们想不想来玩一玩这块东方魔板？三、初步感知，建立表象1.认识七巧板。谈话:老师也带来一副七巧板（点击课件）仔细观察：（1）分一分:一副七巧板中有几种不同的图形呢?分别是？（2）数一数:每一种图形有几个?(3)比一比:哪些图形是完全一样的?(学生回答后电脑演示)（4）小结：有几组完全一样的三角形？（2组）四、动手操作，深入探索1.用两块拼。（1）谈话:我们先来简单一点的，拿出七巧板中的两块拼出一个我们认识的正方形。你听懂了些什么？（2）学生拼图。(3)指名在实物投影仪上演示。任意2块吗？（不是，要是）(4)提问:你会再用这两块2块完全一样的三角形拼出其他图形吗？(5)学生拼图。(6)在实物投影仪上演示。(7)小结:用这两个完全一样的三角形，可以拼成正方形、三角形、平行四边形、菱形。2.用三块拼。（1）谈话:再请小朋友拿出七巧板中的三块拼出我们认识的图形。你想拿出哪三块？（2）学生拼图。(3)在黑板上展示，并让学生说说拼成了什么图形。小结:用这3块，可以拼成正方形、长方形、三角形、平行四边形、五边形、梯形。3.用四、五、六块拼。（1）谈话:这一次我们要来难一点的了，大家可以小组合作，共同完成。要求是用七巧板中的四块、五块、六块来排出我们认识的图形。（2）小组合作拼图。介绍本组拼成了什么图形，是用哪些图形拼的。4.用七块拼。（1）谈话:七巧板不仅能拼出我们学过的图形，而且能排出我们生活中看到的各种有趣的图形。(点击课件)你们看看，这些图形像什么?（2）谈话:请小朋友拿出自己的七巧板，用里面的七块图形排出你喜欢的图形。(3)参观、评点作品(有自评、他评)。（4）创新拼：你还想用七巧板拼出哪些图形？全班展示、评点作品五、全课总结，拓展延伸1.谈话:看了黑板上同学们的作品，有什么感想?数学史料七巧板的来历“七巧板”又称“智慧板”，是我国古代的一种拼板工具。七巧板中有长方形、平行四边形和三角形。它的数目不多，却能拼出很多种图形，如能拼出从0到9的十个数字，或汉语拼音字母，也能拼出几何图形、动物、建筑物等。那简简单单的七块板，竟能拼出千变万化的图形。谁能想到呢，这种玩具是由一种古代家具演变来的。宋朝有个叫黄伯思的人，对几何图形很有研究，他热情好客，发明了一种用6张小桌子组