立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)

1FGGABCDECABDEFDEB1A1C1CABFM高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点．求证：AF∥平面PCE；分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D,E,F分别为AA1,CC1,AB的中点，M为BE的中点,AC⊥BE.求证：（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EAEFBACDP（第1题图）24、如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,,,ADCDADBACD=2AB,E为PC的中点,证明://EBPAD平面;分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形(2)利用三角形中位线的性质5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。求证：PA∥平面BDE7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是△B1AC的中位线8、如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，090,BADFABBC//12AD，BE//12AF，,GH分别为,FAFD的中点（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）,,,CDFE四点是否共面？为什么？ABCDEFGM3PEDCBA（.3）利用平行四边形的性质9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：D1O//平面A1BC1;分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1是平行四边形10、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=21DC，中点为PDE.求证：AE∥平面PBC；分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE是平行四边形11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．（I）证法一：因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，90ACB，所以90,EGFABC∽.EFG由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG//BC，BCFG21在ABCD中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且BCAM214因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM//平面AB。(4)利用对应线段成比例12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且SMAM=NDBN，求证：MN∥平面SDC分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD利用相似比易证MNFE是平行四边形13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB利用相似比易证MNHG是平行四边形(5)利用面面平行14、如图，三棱锥ABCP中，PB底面ABC，90BCA，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2AFFP.（1）求证：BE平面PAC；（2）求证：//CM平面BEF；分析:取AF的中点N，连CN、MN，易证平面CMN//EFBAFAEABACADAMANA5直线、平面平行的判定及其性质经典题（附详细解答）一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是A．0B．1C．2D．33．直线,abc，及平面，，使//ab成立的条件是（）A．//,abB．//,//abC．//,//acbcD．//,ab4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交5．下列命题中，假命题的个数是（）①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；②过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行A．4B．3C．2D．16．已知空间四边形ABCD中，,MN分别是,ABCD的中点，则下列判断正确的是（）A．12MNACBCB．12MNACBCC．12MNACBCD．12MNACBC二、填空题7．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是．6DCABB1A1C1三、解答题10.如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点.求证：//1CB平面BDA1.11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，求证：（1）MN//B1D1；（2）AC1//平面EB1D1；（3）平面EB1D1//平面BDG.参考答案一、选择题1．D【提示】当l时，内有无数多条直线与交线l平行，同时这些直线也与平面平行.故A，B，C均是错误的2．C【提示】棱AC，BD与平面EFG平行，共2条.3．C【提示】//,,ab则//ab或,ab异面；所以A错误；//,//,ab则//ab或,ab异面或,ab相交，所以B错误；//,,ab则//ab或,ab异面，所以D错误；//,//acbc，则//ab，这是公理4，所以C正确.4．B【提示】若直线m不平行于平面，且m，则直线m于平面相交，内不存在与m平行的直线.5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6.D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题77．平面ABC，平面ABD【提示】连接AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由MAEM=NBEN=21得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.8.①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB找一个平面与平面MNP相交，AB与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.9．平行【提示】连接BD交AC于O，连OE，∴OE∥BD1，OEC平面ACE，∴BD1∥平面ACE.三、解答题10.证明：设1AB与BA1相交于点P，连接PD，则P为1AB中点，D为AC中点，PD//CB1.又PD平面BA1D，CB1//平面BA1D11.证明：（1）M、N分别是CD、CB的中点，MN//BD又BB1//DD1,四边形BB1D1D是平行四边形.所以BD//B1D1.又MN//BD，从而MN//B1D1（2）（法1）连A1C1，A1C1交B1D1与O点四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的中点E是AA1的中点，EO是AA1C1的中位线，EO//AC1.AC1面EB1D1，EO面EB1D1，所以AC1//面EB1D1（法2）作BB1中点为H点，连接AH、C1H，E、H点为AA1、BB1中点，所以EH//C1D1，则四边形EHC1D1是平行四边形，所以ED1//HC1又因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AHAHHC1=H，面AHC1//面EB1D1.而AC1面AHC1，所以AC1//面EB1D1（3）因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AH因为AD//HG，则四边形ADGH是平行四边形，所以DG//AH，所以EB1//DG又BB1//DD1,四边形BB1D1D是平行四边形.所以BD//B1D1.8BDDG=G，面EB1D1//面BDG