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圆的复习第一部分知识及方法一、圆的基本概念1、圆的基本元素圆心：圆的中心。半径：连接圆心和圆上任一点的线叫半径。弦：连接圆上任意两点的线段叫弦。直径：经过圆心的弦叫直径。弧：圆上任意两点间的部分叫弧。弧分为半圆、优弧和劣弧。圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。注意：直径是圆最长的弦；同圆或等圆的直径是半径的两倍。2、（1）圆是旋转对称图形，圆心是对称中心。在一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在一个圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。在一个圆中，相等的弦所对的劣弧相等，所对的圆心角相等。（2）圆是轴对称图形，任一条过圆心的直线都是它的对称轴。（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。提示：1）圆周可以看作360°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。2）解决与弦有关的问题时，常常过圆心作弦的垂直线段作为辅助线。半径、弦的一半、弦心距构成一个直角三角形。利用勾股定理和三角函数可以解决与半径长、弦长、弦心距的长以及相关角度等有关计算的问题。3）经过圆内一点，最长的弦是经过这点的直径，最短的弦是与过这点的直径垂直的弦。4）圆内两条平行弦所夹的弧相等。3、（1）圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。（2）圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°圆周角所对得弦是直径。在一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半；相等的圆周角所对得弧也相等。圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。（3）相关链接：利用“半圆或直径所对圆周角是直角”可以在圆中得到直角三角形，我们可以解决很多与直角三角形有关的问题。圆周角定理、三角形内角和定理及推论、同角的余（补）角相等、平行线的性质定理等，都是与角度有关的定理，把它们进行综合运用，可以实现角度的灵活转换，从而解决很多与角相关的问题。（4）注意：a．当给出90°圆周角时，弦AB是直径需要说明。b．同弧所对的圆周角相等，但同弦所对的圆周角不一定相等，因为：一条弦对应着两个圆周角。c．如果圆内接四边形的对边平行，则这个四边形是等腰梯形或矩形。二、与圆有关的位置关系1、点与圆的三种位置关系及判定点P在⊙O上OP=r；点P在⊙O内OPr；点P在⊙O外OPr。2、过平面上的点作圆的有关规律经过的点作圆的个数圆心的位置一点无数个平面上除这点外的任一点两点无数个连接两点线段的垂直平分线上不在同一直线上三点一个连接任意两点所得三条线段的垂直平分弦的交点同一直线上的三点不能作圆四个点不一定能够做圆3、定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。4、有关概念：经过三角形各顶点的圆叫三角形外接圆。外接圆的圆心角三角形的外心。这个三角形叫圆的内接三角形。5、提示：（1）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。锐角三角形的外心在三角形内部。直角三角形的外心是斜边的中点。钝角三角形的外心在三角形外部。（2）直角三角形的外接圆的直径即是这个直角三角形的斜边。6、直线和圆三种不同位置关系及相关概念直线和圆的位置关系直线名称公共点名称公共点个数d与r的大小关系相交割线2个dr相切切线切点1个d=r相离无dr7、注意：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。直线和圆的位置关系，由r与d的大小关系确定。直线AB和⊙O相交；直线AB和⊙O相切；直线AB和⊙O相离。8、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。9、切线的判定定理：圆的切线垂直与经过切点的半径。10、相关链接：由切线的性质定理和判定定理可知：圆的切线经过半径外端并且垂直于半径。即切线与垂直是密不可分的，在解决与切线有关问题时，经常要用到垂直或90°的角。11、提示：切线的判定通常有两种常见的题型：A.过半径，证垂直；B.作垂直，证半径。有解题过程中，可根据具体情况灵活运用。三、圆的基本性质1、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。2、三角形的内切圆、圆的内接三角形和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。三角形内心在三角形内部。3、弦切角弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。4、注意：(1)切线长定理提供了两种不同的结论：A.切线长相等；B.角平分线。在解题时根据需要选出其中的某个结论。(2)直角三角形的内切圆半径有两种不同的方法：A.面积法；B.公式法。公式需要推导，但运算要简便一些；面积法容易理解，是使用较多的方法。5、注意：（1）相切分内切和外切两种，解题时要注意画出不同的图形。（2）两圆相交时，d不仅要小于R+r，还要大于R-r(Rr).四、圆中的计算1、与圆有关的比例线段（1）相交弦定理：当弦AB、CD交于⊙O内的一点P时，则推论：当AB为直径，CD为弦，且CD⊥AB于P，则.（2）切割线定理：PAB为⊙O的割线，PT为⊙O的切线，切点为T，则推论：PAB、PCD为⊙O的割线，则（3）注意：定理中所有的线段具有以下两个特点：A.同一直线的两条线段相乘；B.线段的两个端点，一个是点P，另一个是直线与圆的交点。2、圆周及弧长（1）圆的半径为R，则圆的周长.（2）半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长.3、圆面积，扇形面积（1）半径为R的圆的面积.（2）圆心角为n°的扇形面积4、提示：扇形的面积公式，与三角形的面积十分相似，注意比较。5、圆锥（1）圆锥是由一个底面积和一个侧面围成的。从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。（2）圆锥的母线长都相等。（3）圆锥的侧面展开图是扇形。扇形的弧长等与底面圆的周长。设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为a，弧长为l。则侧面展开图面积.8、圆锥的侧面展开图的圆心角n由d得：或。9、注意:圆锥的侧面积和全面积是两个不同的概念，答题时要注意区分。第二部分例题精讲例1、如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（）。A.1B.C.D.解：选D。提示：过点B作⊥MN交O于，连结交MN于点P,此时点P是AP+BP最小。易知B与点关于MN对称，依题意∠AON=60°,则∠B’ON=∠BON=30°,所以∠AOB’=90°,,故PA+PB的最小值为.例2、如图，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下水面宽度AB为7.2米，桥的最高点处点C高出水面2.4米。现有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问这艘货船能否顺利通过这座拱桥？请说明理由。解：由垂径定理可知OP=1.5米，OC=1.5+2.4=3.9米解得：PQ=因为：所以：NF=2.1＞2即这艘船能顺利通过这座拱桥。例3、如图，AB为⊙O的直径，C、D、E为圆上三点，∠E=30°,则∠C+∠D等于（）A.60°B.90°C.120°D.180°解：选B.提示不要受到∠E=30°的干扰。例4、在直径为AB的半圆形区域内，划出一个三角形区域，是三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其他两边分别为6米和8米。先要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC=8米，BC=6米。（1）求△ABC的边AB上的高h；（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85米的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。解：（1）因为直径AB为三角形ABC斜边，所以AB==10米，所以h==4.8米（2）因为又因为，所以x=时，（3）所以BE=1.8同理AD=3.2所以AC=6，BC=8即可。例5、在△ABC中，AB=AC=13，BC=10.（1）求△ABC的内切圆半径；（2）如果⊙O与△ABC的两边相切（切点在△ABC的边上），与第三边相交，那么⊙O的半径能否等于6?如果能，请求出与⊙O相切两边的交点与切点间的切线长；如果不能，请说明理由。解：（1）如图1，设半径为x.，即得，（2）如图2，当⊙O与△ABC的AB、AC两边相切，且切点分别为B、C时，半径取最大值=不可能。（设半径为x，则）如图3，当⊙O与△ABC的AB、BC两边相切时，过点B作∠ABC的平分线BE，过C作OC⊥BC交BE于O，此时EC为半径的最大值：，所以当⊙O与△ABC的AB、BC两边相切时，⊙O半径可以等于6，当半径为6时，切线长等于9。例6、如图，⊙O与⊙O′相交于A和B两点，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线与N，MN=3，NQ=15，则PN=_____________。解：提示：，所以PN=例7、在矩形ABCD中，AB=24，AD=10，以AB为圆心作圆，如果B、C、D三点中，至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，求⊙A的半径R的取值范围。解：⊙A的圆心为点A，且B、C、D三点中，至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，所以半径R应满足ADRAC.因为AD=10，AB=24，所以所以10R26.例8、如图，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于M，弦AE交CD于F。求证：证明：连CE.因为ABCD所以弧AC=弧AD.所以∠AEC=∠ACD，又因为∠EAC=∠FAC,所以△ACF∽△ACE所以因此例9、如图，以Rt△ABC的直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于P，点Q是AC的中点。求证：PQ是⊙O的切线。证明：连OP,CP因为BC是⊙O的直径。所以∠CPB=90°=∠APC因为Q为斜边AC的中点，所以CQ=AQ=PQ。所以∠3=∠4又因为OC=OP,所以∠1=∠2，因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠4=∠1+∠3=90°。即：∠OPQ=90.所以PQ为⊙O的切线。例10、如图，AB为半圆⊙O的直径，C为半圆外一点，AC，BC分别与半圆交于D、E。EF⊥AB于F，若AC=14，CE=4，AF∶BF=5∶1，求CD的长。解：连AE，则AE⊥BE，设BF=x，则AF=5x。第一步：由勾股定理，得：第二步：因为AE⊥BE，EF⊥AB，所以又∠A是公用角,所以△AEF∽△ABE.所以即所以同理：因为，所以第三步：由割线定理，得：所以例11、如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D.若tanB=，PC=10cm，求三角形BCD的面积。解：连结AC。因为AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°。因为CD⊥AB于点D，所以∠ADC=∠BDC=90°.∠2=90°-∠BAC=∠B因为tanB=,所以tan∠2=.所以设AD=x(x0)，则CD=2x，DB=4x，AB=5x.因为PC切⊙O于点C，点B在⊙O上，所以∠1=∠B.因为∠P=∠P,所以△PAC∽△PCB.所以=。因为PC=10，所以PA=5.因为PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，所以所以解得x=3.所以AD=3，CD=6，DB=12.所以即三角形BCD的面积为36.例12、如图已知圆锥的底面半径是8，母线的长是15，求圆锥的侧面积和这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角。解：圆锥侧面积如图，设所求扇形的圆心角的度数为n，则所以第三部分练习与巩固一、填空题：1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=，则∠BCD=___________度。2、已知一直角三角形三个顶点在同一圆上，这个三角形的面积为12，周长为.那么这个直角三角形外接圆的半径是____________。3、已知顶角A等于40°的等腰三角形的三个顶点在同一⊙O上，D是圆周上一点，∠ADB=_____________。4、若AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过C引直径AB的垂线，垂足是D，点D分这条直径成2︰3两部分，如果⊙O的半径等于5，则BC=_____________。5、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，⊙A与BC相切于D，与AB相交于E。则∠ADE=____