专题训练(一)-平行四边形的证明思路

1专题训练(一)平行四边形的证明思路【题型1】若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．3．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．24．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.(1)求证：BF＝DC；(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．【题型2】若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．【题型3】若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形．37．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．4平行四边形的证明思路1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即BE∥CD.又∵EC∥BD，∴四边形BECD是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵BE＝DF，∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．3．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°.∴BF＝DE，CF＝AE，∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE.在△DCF和△BAE中，CD＝AB，∠DCF＝∠BAE，CF＝AE，∴△DCF≌△BAE(SAS)．∴DF＝BE.∴四边形BEDF是平行四边形．4．(钦州中考)如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.(1)求证：BF＝DC；(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．证明：(1)∵DE是△ABC的中位线，∴CE＝BE.在△DEC和△FEB中，5CE＝BE，∠CED＝∠BEF，DE＝FE，∴△DEC≌△FEB.∴BF＝DC.(SAS)(2)∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，且DE＝12AB.又∵EF＝DE，∴DE＝12DF.∴DF＝AB.∴四边形ABFD是平行四边形．类型2若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形．类型3若已知条件出现在对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.求证：四边形ABFC为平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE.∵E是BC的中点，∴BE＝CE.在△ABE和△FCE中，∠BAE＝∠CFE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△ABE≌△FCE(AAS)．∴AE＝EF.6又∵BE＝CE，∴四边形ABFC是平行四边形．7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.∴△FDO≌△EBO.(AAS)∴OF＝OE.∴四边形AECF是平行四边形．8．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵点E，F分别是OB，OD的中点，∴OE＝12OB，OF＝12OD.∴OE＝OF.∴四边形AECF是平行四边形．