新湘教版八年级数学下册第1.1.1-直角三角形的性质和判定

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第1章直角三角形1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时直角三角形的性质和判定湘教版八年级数学下册1.在Rt△ABC中,∠C=90°两锐角之和:∠A+∠B=?直角三角形的两个锐角互余在Rt三角形ABC中,∠C=90°,由三角形内角和定理,可得:∠A+∠B=90°.说一说直角三角形的性质定理1:几何语言表示:∵△ABC为Rt△,∠C=90°,∴∠A+∠B=90o。(直角三角形的两个锐角互余)2.如图,在△ABC中,如果∠A+∠B=90°,那么△ABC是直角三角形吗?分析:由三角形内角和性质,∠A+∠B+∠C=180°,因为∠A+∠B=90°,所以∠C=90°,于是△ABC是直角三角形.有两个角互余的三角形是直角三角形.直角三角形的判定定理2:直角三角形的定义:有一个角是900的三角形是直角三角形.(直角三角形的判定定理1:)几何语言表示:∴△ABC为直角三角形,即∠C=90o.∵∠A+∠B=90o(有两个角互余的三角形是直角三角形)画一个Rt△ABC,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,并度量CD、AB、AD、BD的长度,再比较CD、AB的关系。CD=;AD=;BD=;AB=;你们得到了什么结论?探究CD=AB12在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.结论在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形的性质定理2:是否任意一个Rt△ABC都有成立呢?12CDAB(或者说在直角三角形中,斜边等于斜边上的中线的两倍.)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是斜边AB的中点,连结CD,求证:12CDABCBADE证明:延长CD,使得CD=DE,连结BE,在△ACD和△BED中:AD=BD,CD=ED,∠ADC=∠BDE,∴△ACD≌△BED(SAS)∴∠ACD=∠DEB,∴AC//EB,∵∠ACB=900,∴∠CBE=900,∴AC=EB,在△ACB和△EBC中:BC=BC,AC=BE,∠ACB=∠CBE,∴△ACD≌△BED(SAS)∴AB=CE,12∴CDAB12∵CDCE注意:在Rt△中,斜边上的中线把原直角三角形分成面积相等的两个等腰三角形.几何语言表示:∵△ABC为Rt△,CD是斜边AB上的中线,12∴CDAB(在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半)∠2=∠B()证明:12CDAB=BD=AD∵∴∠1=∠A等边对等角又∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和的性质)即∠A+∠B+∠1+∠2=180°∴2(∠A+∠B)=180°∴∠A+∠B=90°∴△ABC是直角三角形()有两个角互余的三角形是直角三角形例1:如图,已知:CD是△ABC的AB边上的中线,且CD=AB,求证:△ABC是直角三角形.21结论在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.直角三角形的判定定理3:几何语言表示:ACBD12CDAB=BD=AD∵∴△ABC是直角三角形(三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形)练习1.在Rt△ABC中,斜边上的中线CD=2.5cm,则斜边AB的长是多少?2.如图,AB//CD,∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点,E为AC的中点,EH=2.那么△AHC是直角三角形吗?为什么?若是,求出AC的长。ABCDHE解:AB=2CD=5cm解:(1)∵AB//CD,∴∠BAD+∠DCA=1800,又∵AH平分∠BAD,CH平分∠DCA,∴∠HAC=∠BCA,∠HCA=∠DCA21212121∴∠HAC+∠HCA=∠BCA+∠DCA=(∠BCA+∠DCA)=×1800=9002121∴△AHC是直角三角形(2)∵△AHC为Rt△,EH为斜边AC边上的中线;∴AC=2EH=4.直角三角形的性质:直角三角形的判定:1.直角三角形两锐角互余;2.在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;3.三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形;1.有一个角内角等于90°的三角形是直角三角形。2.有两个角互余的三角形是直角三角形;课堂小结提升

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