第六章-薄板弯曲问题有限元法

第六章薄板弯曲问题的有限元法第一节引言薄板弯曲问题应满足的条件：1）几何条件厚度尺寸小于其它两个尺寸t/l1/52）载荷条件仅受垂直于中面的横向载荷膜内力和弯曲内力3）小挠度假设横向变型很小w/t1/510,0,(,),,zzyzxxoywzwxywwxyz薄板弯曲以未变形的板的中面为平面采用克希霍夫的三个假设：）直法线假设中面法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面因此：也就是说：挠度只是的函数2）正应力假设在平行于中面的截面上，应力分量可以忽略。00222223002zzxyxyuvwxwuwxdzzwvyywxy）小挠度假设中面内各点没有平行于中面的位移因此:以及2222222101011002xybbxybwxwDzDywxyED应力与挠度的关系为：其中：与平面应力的弹性矩阵相同33344223412122121TxyTxyxybbbqwDzDtMDztDDEtwx第二节弹性薄板弯曲的能量泛函和微分方程1、位移向量、广义应变分量和曲率、应力应变关系、广义应力,5、能量泛函和微分方程444swwPxyy第三节薄板弯曲问题有限元法1、结构离散采用四节点矩形单元属于平面单元2212345632233378910111223412,xyiiixixiyiyjjjxjxjyjywxyxxyyxxyxyyxyxywwyxwNwNNNwNN、单元分析1）位移函数每个节点个自由度个节点个自由度移函数设为：分别把节点的坐标和位移代入上式考虑到emmmxmxmymypppxpxpypyxyNwNNNwNNNqw连续，和在边界上部连续，所以单元非协调2222,1112811181118,,,,iixiyiiiiiixiiiiyiiiNNNNbNaNiijmpxyab和是形函数23,1a1a1ba1ab----41212412124121241212abeTTSabSeTssekBDBdxdyBDBdydxPRNPdxdyPbbR、单元刚度矩阵利用虚位移原理、单元载荷向量对于均布载荷等效节点载荷为对于常力有134eneiKKKqR、总刚矩阵合成、载荷移置5、边界条件处理6、求解方程组7、数据处理及分析第四章三角形板单元对于斜交边界、曲线边界能很好地适应1、面积坐标1）定义：,,,iijjmmALAALAALA211(2)0,1,0,1,0,00,0,1000111112ijmijmiijmjijmmllllLLLLjmLmiLijLxxxxLyyyyLALabAA）面积坐标的特点（）（面积坐标不独立）三角形三个顶点的坐标为和三条边的方程为：（边）（边）（边）(3)面积坐标与直角坐标的转换,,lxcylijm(3)1212!!1!!!!22!llllllabijlabcijmLNbxxALNcyyAabLLdslababcLLLdxdyAabcs面积坐标的微积分运算微分运算积分运算三角形边上的积分三角形全面积上的积分21234523223678910892)910wxyxxyyxxyxyy位移函数对三角形板单元，位移函数可以取完全三次多项式个节点的位移不能去确定个参数解决办法：（1）将中心挠度作为一个参数（2）（3）用面积坐标123224522672289ijmjiijmjmijmmiijmmjijmimijmijijmwLLLLLCLLLLLCLLLLLCLLLLLCLLLLLCLLLLLCLLLC引入面积坐标，位移函数可以写成：其中为常数，C=1/2时上式满足常应变要求1232222222211221122iejmTiijimijimiiixjmiijmmijijmiyjmiijmmijijmqwNqNNNqqLLLLLLLLLNNNbLLLLLbLLLLLNcLLLLLcLLLLL将三角形单元节点位移回代到位移表达式得：其中:T222222323313112123241--1--1--324243242432424eTSeTTseTkBDBdxdyNNNBxyxyqRNPdxdyqNdxdybbccbbccbbccRqA、单元刚度矩阵其中：、单元载荷向量（常量）