讲座9-级联的积分器-梳状滤波器

1讲座9级联的积分器-梳状滤波器级联的积分器-梳状滤波器（cascadeintegrator–combfilters，CICF）用作低通滤波器，有很高的计算效率，因而在现代通信系统中常与抽取和插值的硬件连接在一起。CICF非常适合在进行抽取操作（降低采样率）之前，用作去假频滤波器（图9.1a），以及在进行插值操作（提高采样率）之后，用作去像频滤波器（图9.1b）。有关细节，请参看第12章。CICF其实是一个平均滤波器。例如，当信号)(nx被噪声污染时，可以用D点平均来作为对当前信号的一种估计。设)(ˆnx是真实的信号，)(ne是均值为零的白噪声噪声。则测量所得的信号是)()(ˆ)(nenxnx（9.1）我们设计一个FIR滤波器，使滤波器的输出为图9.1CICF在采样率转换中的应用5/)]4()3()2()1()([)(nxnxnxnxnxny（9.2）)(ny是序列)(nx的当前值和此前的4个值的平均值，将这个平均值作为对当前的)(nx的估计虽有误差，但还是可以接受的。这样的滤波器称为移动平均滤波器。相应于式（9.2）的FIR滤波器结构示于图9.2a。其中，5D。其系统函数为101)(DiizDzH（9.3）根据式（9.2），每计算一点，要进行次加法1D次加法运算。式（9.2）等价于)1()]()([1)(nyDnxnxDny（9.4）这相当于在先前的一点)1(ny中挤走5个数末尾的那一个，即)(Dnx，而添进新的一点并除以D，即Dnx/)(。显然，式（9.4）是一个IIR滤波器的差分方程。根据这个算法，无需存储过去的输入数据值，只需记住过去时刻的)1(ny值，在新的输入数据)(nx来到时，即可算出当前的)(ny值。为了区别于上述FIR滤波器，这样的IIR滤波器称为滚动求和滤波器。相应于式（9.4）的IIR2滤波器结构示于图9.2b，其中的延迟单元数目为D。图9.2D点平均滤波如果不考虑子图(b)的平均因子D，则滚动求和滤波器可以画成子图(c)所示的CICF形式。程序L0901.M检验了式（9.3）与式（9.4）所代表的滤波器有相同的滤波效果。%L0901.M%研究两种实现形式的平均滤波器的滤波效果。%clear;set(gcf,'color','w');N=512;n=0:N-1;noise=(0.4*rand(1,N))-0.2;subplot(2,2,1)plot(n,noise);grid%显示噪声序列w=0.04*pi;s_n=0.5*sin(w*n)+noise;subplot(2,2,2)plot(n,s_n);grid;%显示噪化信号%用FIR平均滤波器进行滤波y(1)=0;y(2)=0;y(3)=0;y(4)=0;3fori=5:Ny(i)=(s_n(i)+s_n(i-1)+s_n(i-2)+s_n(i-3)+s_n(i-4))/5;endsubplot(2,2,3)plot(n,y);grid;%用IIR平均滤波器进行滤波y(1)=0.1;y(2)=0.1;y(3)=0.1;y(4)=0.1;y(5)=0.1;fori=6:Ny(i)=y(i-1)+(s_n(i)-s_n(i-5))/5;endsubplot(2,2,4)plot(n,y);grid;程序运行结果示于图9.3。子图(a)和(b)分别示出噪声序列)(Nnx和噪化信号)(SNnx。子图(a)和(b)分别示出FIR和IIR平均滤波器的输出。两种滤波器的滤波效果基本上相同。图9.3FIR和IIR平均滤波器的滤波效果式（9.3）可以写为101111)(zzDzDzHDDii（9.5）式（9.5）的算法显然是高效的，若不考虑其中的系数D/1，则滤波器结构已示于图9.3c。这种CICF结构由一个梳状滤波器与一个积分器级联而成。系统函数为4111)(zzzHD（9.6）程序L0902.M演示CICF的特性。%L0902.M%演示CICF的特性%set(gcf,'color','w')n=[1,zeros(1,10)];x=[1,zeros(1,20)];m=0:9;a=zeros(1,10);y=1:10;fork=1:10a(1)=x(k);y(k)=x(k)-a(6);a(6)=a(5);a(5)=a(4);a(4)=a(3);a(3)=a(2);a(2)=a(1);endsubplot(2,3,1)stem(m,y,'.');axis([0,10,-1.2,1.2]);grid%---------------------------------------------x=[1,zeros(1,20)];a=zeros(1,10);fork=1:10y(k)=x(k)+a(1);a(2)=a(1);a(1)=y(k);endsubplot(2,3,2)stem(m,y,'.');axis([0,10,-0.5,1.2]);grid%---------------------------------------------x=[1,1,1,1,ones(1,15)];a=zeros(1,10);fork=1:10a(1)=x(k);y(k)=x(k)-a(6);a(6)=a(5);a(5)=a(4);a(4)=a(3);a(3)=a(2);a(2)=a(1);endsubplot(2,3,3)stem(m,y,'.');axis([0,10,-0.5,1.2]);grid%---------------------------------------------w=-pi:0.01:pi;D=5;H=abs(sin(w*D/2)./sin(w/2));HdB=20*log10(H/max(H));subplot(2,3,4)plot(w/pi,HdB);grid;holdon5D=10;H=abs(sin(w*D/2)./sin(w/2));HdB=20*log10(H/max(H));plot(w/pi,HdB,'-.');axis([-1,1,-30,5]);%---------------------------------------------H=exp(-j*-w*(D-1)/2).*(sin(w*D/2)./sin(w/2));p=angle(H);;subplot(2,3,5)plot(w/pi,p);grid%---------------------------------------------a=[1-1];b=[1,zeros(1,D-1),-1];subplot(2,3,6)zplane(b,a);grid;图9.4a示出CICF在10D时的零极点分布。其中，梳状滤波器提供单位圆上的10个零点，另有10个极点位于原点。积分器提供一个位于1z处的极点，与该处的零点抵消；另有一个零点处于原点，与该处的一个极点抵消，使位于原点的极点个数变为9。图9.5示出5D时的CICF的时域特性。请读者根据图9.3c来加以理解。)ee()ee(eee1e1)e(2/j2/j2/j2/j2/j2/jjjjCICFDDDDH2jee)sin(-jj利用欧拉恒等式2jee)sin(-jj，上式可写为)2/sin()2/sin(e)e(2/)1(jjCICFDHD（9.7）图9.6示出CICF的频率特性。图9.4CICF的时域特性图9.5CICF的零极点分布6图9.6CICF的频域特性细心的读者会问：参与平均运算的数据越多，即增大D值，能否更好地滤除噪声。理论上，答案是肯定的。但问题是上面的讨论是从式（9.2）出发的。D值增大时，D个数据中的有用信号部分会是改变的。于是，除了噪声被平均，有用信号也将被平均。因此，原信号中的细节（快速变化部分）将被抹平。换句话说，D值增大时，通频带变窄。图9.6a正好说明这个论断。所以，实用中的D值不宜过大。CICF常用于采样率转换系统中。在按因子R进行抽取之前，CICF用作去假频滤波器；而在按因子R进行插值（原序列每两个样点之间插入1R个零值样点）之后，用作去假象滤波器。在CICF的绝大多数应用中，采样率变化因子R都等于梳状滤波器的差分延迟因子D。CICF是一个线性系统，所以它的两个组成部分，即梳状滤波器和积分器的连接次序是可以调换的。图9.7示出采样率转换系统中的单级CICF。图9.7采样率转换系统中的单级CICF下面说明单级CICF在减采样系统中的滤波作用。图9.8a示出输入序列)(innx具有宽度为B的矩形模频特性|)e(|jinX。图中，s.inf是)(innx的采样频率，即2/s.inf是折叠频率。子图b示出8D的CICF的模频特性和减采样前的输出序列的模频特性。显然，由于CICF的频率特性不理想，故输出序列的模频特性在基带范围内有衰减，而在基带外，有不可忽视的虚像。若使减采样率8R，则折叠频率变为16/s.inf。这时，所有的虚像都会折叠到基带内，如子图c所示。bc7图9.8一阶CICF的频率幅度响应其次，用图9.9说明单级CICF在增采样系统中的滤波作用。子图a示出输入序列)(innx8具有宽度为B的矩形模频特性|)e(|jinX。图中，s.inf是)(innx的采样频率。现在，希望将采样率提高到s.in8f，则必须将s.in8~0ff之间的所有像频块完全消除。子图b示出8D的CICF的模频特性和插值（在原序列每两个样点之间添加零值样点）后的输出序列的模频特性。由图可见，由于CICF的模频特性所限，像频块是不可能完全被消除的。这里，使用阶数为3的CICF，即：3个单级CICF（图9.2c）被级联起来。最大像频块的衰减量约为dB45。图9.9二阶CICF的频率幅度响应8)(RD为了使CICF更能适合减采样或增采样系统的要求，往往需要将几个单级CICF级联起来，组成多阶CICF系统。此外，还需要设计网络，以补偿基带范围内的频谱特性的衰减。图9.10画出3阶CICF系统。图9.103阶CICF系统9程序L0902.M演示一阶和三阶CICF的模频特性，运行结果示于图9.11。%L0902.M%演示一阶和三阶CICF的模频特性%set(gcf,'color','w')w=-pi:0.01:pi;D=8;%一阶CICFH=(abs(sin(w*D/2)./sin(w/2)));HdB=20*log10(H/max(H));subplot(2,1,1)plot(w/pi,HdB);grid;axis([-0.25,1,-30,5]);line([-0.04,-0.04],[-90,5],'Color','r');line([0.04,0.04],[-90,5],'Color','r');line([-0.25+0.04,-0.25+0.04],[-90,5],'Color','r');line([0.25-0.04,0.25-0.04],[-90,5],'Color','r');line([0.25+0.04,0.25+0.04],[-90,5],'Color','r');line([0.5-0.04,0.5-0.04],[-90,5],'Color','r');line([0.5+0.04,0.5+0.04],[-90,5],'Color','r');line([0.75-0.04,0.75-0.04],[-90,5],'Color','r');line([0.75+0.04,0.75+0.04],[-90,5],'Color','r');%三阶CICFH=(abs(sin(w*D/2)./sin(w/2))).^3;HdB=20*log10(H/max(H));subplot(2,1,2)plot(w/pi,HdB);grid;axis([-0.25,1,-90,5]);line([-0.04,-0.04],[-90,