高中数学必修一函数知识点和练习

博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-1-函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3.相同函数的判断方法：（满足以下两个条件）①定义域一致(化简前)②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-2-4．值域：先考虑其定义域（1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、)0,(baxbaxy三角函数等的图像，利用函数单调性）（2）基本不等式（3）换元法（4）判别式法5.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)均在C上.(2)画法描点法图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换伸缩变换对称变换6．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-3-7．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。8．分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．9．复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。函数的性质1．函数的单调性(局部性质)（1）增函数博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-4-设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间。（2）减函数如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间。注意：函数的单调性是函数的局部性质；（3）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（4）函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)导数法博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-5-(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性相关，规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间写成其并集.2．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)叫做奇函数。注：如果奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（4）函数奇偶性判定方法：(A)定义法○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2求出f(-x)，与f(x)进行比较；博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-6-○3作结论：若f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定。(B)借助函数的图象判定.3、函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法、待定系数法、换元法、构造法4、函数最大（小）值（1）一般的，设函数)(xfy的定义域为I，如果存在实数M满足（a）对于任意的,Ix都有Mxf)(；（b）存在Ix0，使得Mxf)(0那么称M为)(xfy的最大值。（2）求函数最值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-7-在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；函数的概念一、选择题1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是()A．xyxf21:B．xyxf31:C．xyxf32:D．xyxf:2．某物体一天中的温度是时间t的函数：603)(3tttT，时间单位是小时，温度单位为℃，0t表示12:00，其后t的取值为正，则上午8时的温度为()A．8℃B．112℃C．58℃D．18℃3．函数y＝x＋1＋x1的定义域是A．（-1，1）B．[0，1]C．[-1，1]D．（-，-1）（1，+）4．函数)(xfy的图象与直线ax的交点个数有()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上5．函数341)(2axaxxf的定义域为R，则实数a的取值范围是()A．RB．]43,0[C．),43[D．)43,0[二、填空题6．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，则y＝________，其定义域为________．博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-8-7．函数y＝x＋1＋12－x的定义域是(用区间表示)________．三、解答题8.求函数y＝x＋1x2－4的定义域．9.已知函数)(xf的定义域为[0，1]，求函数)()(axfaxf的定义域(其中210a).10.已知函数1)(2xxxf(1)求)2(f(2)求)11(xf(3)若5)(xf,求x的值.函数相等、函数的值域1.下列各题中两个函数是否表示同一函数?(1)1)(xf,0)(xxg()（2）24)(2xxxf,2)(xxg()（3）xxxf2)(2,tttg2)(2()（4）|1|)(xxf,)1(1)1(1)(xxxxxg()2.下列函数中值域是(0,+)的是A．)0(12xxyB．2xyC．112xyD．)0(2xx博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-9-3.设函数13)(2xxxf,则)()(afafA．0B．a6C．222aD．2622aa4.已知)(xf满足23)()(2xxfxf,且316)2(f,则)2(f5.已知函数221)(xxxf(1)计算)2(f与)21(f(2)计算)3(f与)31(f(3)计算)20111(...)41()31()21()2011(...)3()2()1(ffffffff6.求下列函数的值域:(1)342xxy(2))5,1[,642xxxy(3)}2,1,0,1,2{,12xxy7.求函数xxxf41332)(的定义域和值域.(提示:设xt413)博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-10-函数的表示法1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是()2.已知xxf2)2(,则)(xfA．x2B．xC．2xD．x43.已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(0)＝0，则f(4)的值是()A．5B．－5C．12D．204.已知)(xf是一次函数,若5)1(3)2(2ff,1)1()0(2ff,则)(xf的解析式为A．23)(xxfB．23)(xxfC．32)(xxfD．32)(xxf5．定义域为R的函数f(x)满足12)(2)(xxfxf，则)(xf＝()A．－2x＋1B．2x－13C．2x－1D．－2x＋13博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-11-6.若xxg21)(,221))((xxxgf,则)21(f的值是A．1B．15C．4D．307.函数)(xf的图象经过点(1,1),则函数)4(xf的图象过点8.已知)(xf是二次函数,1)()1(,0)0(xxfxff,求)(xf.9.若2627)))(((xxfff,求一次函数)(xf的解析式.分段函数与映射1．已知f(x)＝x2＋3(x＞0)，1(x＝0)，x＋4(x＜0).则f(f(f(－4)))＝()A．－4B．4C．3D．－32已知函数)1(2)1(12)(2xxxxxxf,(1)试比较))3((ff与))3((ff的大小.(2)若3)(af,求a的值.3.画出下列函数的图象,并写出值域.博龙教育2014-2015学年度上学期高中数学讲义我们关注每一位学生！-12-(1)||)(xxf(2)|2|)(2xxxf(3)|3||5|)(xxxf函数的单调性1.在区间（0，+∞）上不是增函数的是（）A.y=2x-1B.y=3x2-1C.y=x2D.y=2x2+x+12.设函数bxaxf)12()(是（-∞，+∞）上的减函数，若a∈R,则（）A.21aB.21aC.21aD.21a3.函数y=4x2-mx+5在区间，2上是增函数，在区间2，上是减函数，