多元函数积分学及其应用

多元函数积分学及其应用第九章重积分第十章曲线积分与曲面积分引言在一元函数积分学中,我们知道定积分是某种确定形式的和的极限.极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念.这种和的将函数在这些区域、曲线及曲面上的积分统称为函数在几何形体上的积分.第一节多元函数积分的概念与性质1.物体质量的计算设有一质量非均匀分布的物体，其密度是点M的函数如果函数f已知，怎样求物体的质量呢？).(Mf在定积分中，一根线密度为()()fMfx的细直棒AB，它的质量可通过分割、近似、求和、取极限四个步骤化为定积分01=limniiimfxbafxdx1ixixi0xanxbABox平面薄板的质量设它所占的平面区域为D，其密度为()(.)fMfxy在D上连续，D类似于对直棒的处理------“化整为零”可按如下步骤计算它的质量.【分割】【近似】把D任意划分为n个子域i1,2,,in示面积）,iiMiiiMfm)(【求和】【取极限】niiiniiMfmm11)(01lim()niiimfMmaxi的直径xyoDiiM（也表薄板的质量细棒的质量01=limniiimfx01lim()niiimfM均可由相同形式的和式极限来确定.一般地，设有一质量非均匀分布在某一几何形体G上的物体(G可以是直线段、平面或空间区域、一片曲面或一段曲线),其质量可以按照以上四个步骤来计算：把G任意划分为n个子域1,2,,in示度量）,iiMg()iiimfMg11()nniiiiimmfMg01lim()niiimfMgmaxig的直径（也表【分割】【近似】【求和】【取极限】igig上质量分布近似看作均匀2.多元函数积分的概念定义fPG函数在上有界.设G表示一个有界的可度量几何形体，,1,2,.igin小部分.ig也表示其度量Gn将任意划分为个,(),iiiiPgfPg任取点作乘积1()niiifPg作和式1,2,.iniiGPg不论怎样划分，点在中怎样选取，0ig当所有的直径的最大值时，和式都趋于同一常数，fG那么，称函数在上可积，且此常数.fG为多元函数在上的积分记作01=limniiGifPdgfPg1()niiifPgfpG函数在几何形体上的积分GfPdg被积函数元素积分域被积式或积分微元积分号01=limniiGifPdgfPg积分和当G为不同的几何形体时，对应的积分有不同的名称和表达式：（1）当G是x轴上的闭区间[a,b],],,[),()(baxxfPf01limniiifx＝GfPdg称为定积分bafxdx01=limniiGifPdgfPg（2）当G为平面有界闭区域（常记为D）时，(,)Dfxyd（3）当G为空间有界闭区域（常记为）时，(,,)fxyzdvGfPdgGfPdg称为二重积分()(,)(,)fPfxyxyD，，01lim(,)niiiif称为三重积分01lim(,,)niiiiifv()(,,)(,,),fPfxyzxyz，.Dd就是积分域，称为面积元素.dv就是积分域，称为体积元素(,)Lfxyds（4）当G为平面有限曲线段（常记为L）或空间有限曲线段（常记为）时，GfPdg称为对弧长的曲线积分()(,)(,)fPfxyxyL，()(,,)(,,)fPfxyzxyz或，，(,,)fxyzds01lim(,)niiiifs01lim(,,)niiiiifs()L或称为积分路径，ds称为弧长元素.（5）当G为空间有限曲面片（常记为∑）时，(,,)fxyzdSGfpdg称为对面积的曲面积分()(,,)(,,)fPfxyzxyz，，01lim(,,)niiiiifS称为积分曲面，dS称为曲面面积元素.例1(,)zfxyD设在有界闭区域连续，讨论二重积分的几何意义.Ddyxf),(解Ddyxf),(01lim(,)niiiifiD任意划分为n个子域ixzy(,)ii(,)iii点),(yxfzoxzyD曲顶柱体xzyoD(,)zfxyi(,)ii=,iiif小平顶柱体体积高×底面积小柱体体积无限累加Ddyxf),(01lim(,)niiiifV得到以曲面为顶，区域D为底的曲顶柱体的体积V.,iif二重积分的几何意义二重积分是曲顶柱体的体积的负值.当被积函数时，0),(yxf当被积函数(,)0fxy时，(,)DfxydV(,)DfxydVD),(yxfzyzxoV其投影D为底曲顶柱体的体积.二重积分是曲面(,)zfxy为顶，3.多元函数积分的性质fG若函数在有界闭集上连续，.fG则在上可积多元积分的存在性与定积分类似：(),()fPhP当函数可积时，多元函数积分有与定积分类似的性质.性质1（线性性质）k为常数(1)GGkfPdgkfPdg(2)[()()]GGGfPhPdgfPdghPdg[()()]bbbaaafxgxdxfxdxgxdx[(,)(,)](,)(,)DDDfxygxydfxydgxyd性质2（区域可加性）1212,,GGGGGG若分为两部分1D2D12GGGfPdgfPdghPdgbcbaacfxdxfxdxfxdx12(,)(,)(,)DDDfxydfxydfxyd则定积分二重积分性质3(,)1DDfxydD若在上，则有＝的面积GdgG的度量对于二重积分来说（比如面积，体积，弧长等）badxba（积分区间的长度）定积分,GfPhP如果在上则有性质4（比较性）()()()fPfPfP特别地，由于，GGfPdghPdgGGfPdgfPdg故有(,)(,)DDfxydhxyd二重积分：bbaafxdxhxdx定积分性质5(估值性）,MmfPG若分别是在上的最大值mfPM这个性质可以由GmGfPdgMG定积分()()bambafxdxMba(,)DmfxydM二重积分：利用性质3和性质4推出.和最小值，则性质6（积分中值定理）()fPG设在有界连通闭集上连续，GM则在上至少存在一点，满足等式()GfPdgfMG＝(,)(,),(,)Dfxydf二重积分：()(),[,]bafxdxfbaab定积分例2估计积分()DIxyxydxdy的值,02,x其中D是矩形域02.y解在区域D上,由于有0()4.xyxy0I40(确定被积函数在D上的最大值和最小值)所以02,x02.y又积分区域D的面积是4，)2,2(oxyD由估值性质(5)，16多元函数积分可看作定积分推广为多元函数在不同几何形体上的积分.n重积分(多元函数在n维空间中的有界闭区域上的积分)曲面积分（多元函数在有限曲面片上的积分）曲线积分（多元函数在有限曲线段上的积分）小结01=limniiGifPdgfPg1.多元函数积分的定义01limniiifx＝bafxdx01lim(,)niiiifDdyxf),((,,)fxyzdv01lim(,,)niiiiifv定积分重积分(,,)fxyzds01lim(,)niiiifs01lim(,,)niiiiifs(,,)fxyzdS01lim(,,)niiiiifS对弧长的曲线积分：对面积的曲面积分：(,)Lfxyds几种几何形体上的积分：D闭区间[a,b]L(平面有界闭区域)（平面有限曲线段）（有限曲面片）(空间有界闭区域)(空间有限曲线段)二重积分三重积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分二、多元函数积分的性质线性性、可加性、比较性、估值性、积分中值定理.GdgG的度量（比如面积，体积，弧长等）GfPdg的物理意义：若一个非均匀物体，其形状如上述几何形体G，其密度为G上的函数，则在G的元素dg上，其质量应是于是该物体的总质量为PPdg()GmPdg二重积分的几何意义：(,)0zfxy等于以曲面为顶，曲面Ddyxf),(.曲顶柱体的体积z为准线、母线平行于轴的柱面所围xoyDD在面上的投影为底,以及的边界问题(,,)xyz密度函数为的物体的质量质量是连续分布在空间区域上，一片曲面(,,)mxyzdv(,,)mxyzdS答：质量为怎么求？作业p.78习题9-12;4.(3);(4);5.(1);(4)