高一下学期平面向量综合复习

高一下学期平面向量综合复习结论１在ABC中ACBCAB（加）或BCABAC（减）称ABC为向量三角形；推广可有013221AAAAAAn，称121AAAAn为封闭折线．如：①在平行四边形ABCD中,已知aAB,bAD,DODM31,OCON31,试用ba,表示MN.②如图，在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为．2.向量共线的条件：结论2（平行向量基本定理）向量a与)0(b平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数使ba．特别地，三点CBA、、共线ACAB．3.轴上向量的坐标及其运算：已知轴l，取单位向量e，对于轴l上任意向量a总是存在唯一实数x使得axe，我们称x为向量a在轴l上的坐标（或数量）。设e是轴l的一个基向量，向量AB的坐标为AB，则ABABe；若轴l为x轴，可设点A、B的坐标分别为x1，x2，则向量AB的坐标AB=21xx。4.向量的分解：结论3（平面向量基本定理）设b,a是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量c，存在唯一实数,使bac．这里称为向量c关于基底的分解式。特别地若1，则有①CBACtOBttOAtOC111称为定比分点向量式，也称为直线AB的向量参数方程式；②OBOAOC21称为中点向量式（C为AB中点）．上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：①证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成2∶1的两条线段。②求证ABC三条高CFBEAD、、相交于一点．5.平面向量的坐标运算：对于结论3，若{,}ab是一组单位正交基底，则称(,)是向量c在基底{,}ab下的坐标，记作(,)c。（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设1212(,),(,)aaabbb，则有：ab；ab；a；(0)abba；6.向量的数量积：结论4两个向量的数量积为cosbaba，其中b,a为两个向量的夹角，其范围为．数量积有如下性质：①cosbaeaebb为方向的单位向量；是点到直线（甚至到平面）距离公式推导的根据；②夹角公式cosabab；（坐标形式）③22aaaa即aaa（用于求模）；④0abab；（坐标形式）⑤.abab（某些不等式放缩证明的根据）数量积的运算律：（1）交换律：；（2）数乘律：；（3）分配律：。（请给出证明）注意：不满足消去律：acbc推不出结论ab，举例：。如：①已知平面上直线l的方向向量e=(-53,54)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为'O和'A，且''AOλe，其中λ=（）A．511B．-511C．2D．-2②模公式22aaaa的应用举例：（1）求证:)|||(|2||||2222bababa，其几何意义是。（2）若3||||||baba,则ba（3）已知2||a,3||b,7||ba,则a与b的夹角为（4）已知cba,,中每两个向量夹角都为120且4||a,6||b,2||c,求||cba值.7.直线:0lAxByC的方向向量v，法向量u，若再已知定点00(,)Pxy，而且点(,)Mxyl，0n是单位法向量，则点P到直线l的距离公式为：。（向量形式）8.结论５：bababa，称为向量三角形不等式．（三）三角形的“四心”与向量1.关于重心G，有重心公式：1()3OGOAOBOC坐标)3,3(CBACBAyyyxxxG，并有性质0GCGBGA；2.关于垂心H，有性质HAHCHCHBHBHA；3.关于外心O，有性质||||||OCOBOA；结论：O、H、G三点共线且OGOH3；此线称为欧拉（Euler）线。（如何证明？）4.关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如)||||(ACACABABAI。如：①已知O，N，P在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心②在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），113BABCBDBABCBD，则四边形ABCD的面积是③设斜ABC△的外接圆圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m=。④O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，0,，则P的轨迹一定通过ABC的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心（四）向量与解析几何在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：（1）A、B、C三点共线等价于存在实数，使得OCOAOB（1）；（2）ABC的重心G的坐标公式为13OGOAOBOC．（3）直线的方向向量是什么？给定两点：111222,,,PxyPxy，那么122121,PPxxyy，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：1,tan，也就是说：直线0AxByC的方向向量是,BA，直线的法向量是,AB．例如：已知O为坐标原点，点FE、的坐标分别为)0,1()0,1(和,点QPA、、运动时，满足EPAPAFPQQFAQEFAE//,0,,2，（1）求动点P的轨迹C的方程．（2）设M、N是轨迹C上的两点，若23OMONOE，求直线MN的方程一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||ABAB)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线ABAC、共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。其中正确的是_______二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy，称,xy为向量a的坐标，a＝,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。如（1）若(1,1),ab(1,1),(1,2)c，则c______（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.12(0,0),(1,2)eeB.12(1,2),(5,7)eeC.12(3,5),(6,10)eeD.1213(2,3),(,)24ee（3）已知,ADBE分别是ABC的边,BCAC上的中线,且,ADaBEb,则BC可用向量,ab表示为_____（4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是___四．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1,2aa当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，0a，注意：a≠0。五．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAaOBb，AOB0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝2时，a，b垂直。2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝cosab。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中，3||AB，4||AC，5||BC，则BCAB_________（2）已知11(1,),(0,),,22abcakbdab，c与d的夹角为4，则k等于____（3）已知2,5,3abab，则ab等于____（4）已知,ab是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为____3．b在a上的投影为||cosb，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3||a，5||b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为______4．ab的几何意义：数量积ab等于a的模||a与b在a上的投影的积。5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：①0abab；②当a，b同向时，ab＝ab，特别地，222,aaaaaa；当a与b反向时，ab＝－ab；当为锐角时，ab＞0，且ab、不同向，0ab是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab＜0，且ab、不反向，0ab是为钝角的必要非充分条件；③非零向量a，b夹角的计算公式：cosabab；④||||||abab。如（1）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（2）已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若2321S，则FQOF,夹角的取值范围是_________（3）已知(cos,sin),(cos,sin),axxbyya与b之间有关系式3,0kabakbk其中，①用k表示ab；②求ab的最小值，并求此时a与b的夹角的大小六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABaBCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,ABaACbabABACCA那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③()()ABCDACBD_____（2）若正方形ABCD的边长为1，,,ABaBCbACc，则||abc＝_____（3）若O是ABC所在平面内一点，且满足2OBOCOBOCOA，则ABC的形状为____（4）若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足0PABPCP