搜索
专题三压轴解答题第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行”为背景的存在判断型问题典例1如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，，PA平面ABCD，E是AB的中点.（1）求证：平面PDE平面PAB；（2）棱PC上是否存在一点F，使得//BF平面PDE？若存在，确定F的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接BD，因为底面ABCD是菱形，,所以ABD为正三角形.因为E是AB的中点,所以DEAB,因为PA面ABCD,，∴DEPA，因为DEAB，DEPA，,所以.又,所以面PDE⊥面PAB.所以BF∥GE，又GE面PDE，BF面PDE，∴BF∥面PDE，结论得证.【举一反三】【山东省德州市跃华中学2017-2018学年下学期高三模拟】如图所示，正四棱椎P-ABCD中，底面ABCD的边长为2，侧棱长为.（I）若点E为PD上的点，且PB∥平面EAC.试确定E点的位置；（Ⅱ）在（I）的条件下，点F为线段PA上的一点且，若平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为，求实数的值.【解析】（Ⅰ）设BD交AC于点O，连结OE，∵PB∥平面AEC，平面AEC∩平面BDP＝OE，∴PB∥OE，又O为BD的中点，∴在△BDP中，E为PD中点．（Ⅱ）连结OP，由题意得PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，∴以O为原点，OC、OD、OP所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，OP，∴A（，0，0），B（0，，0），C（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），则E（0，，），（，0，0），（，，），（0，，0），设平面AEC的法向量（x，y，z），则，令z＝1，得平面AEC的一个法向量（0，，1），设平面BDF的法向量（x，y，z），由，得F（，0，），（，，），∴，令z＝1，得（，0，1），∵平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为，∴cos，解得λ．【精选名校模拟】1.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值．【解析】设AE＝BF＝x．以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2﹣x，2，0）．（1）因为，，所以．所以A1F⊥C1E．（2）因为，所以当S△BEF取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．因为，所以当x＝1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）．设平面B1EF的法向量为，则得取a＝2，b＝2，c＝﹣1，得．显然底面ABCD的法向量为．设二面角B1﹣EF﹣B的平面角为θ，由题意知θ为锐角．因为，所以，于是．所以，即二面角B1﹣EF﹣B的正切值为．2.．【湖北省2019届高三1月联考测试】如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面又∵平面∴作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且3.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.【解析】（1）由题设知，平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，因此，又，，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则有，过点作于，设，则.因为，所以，，由题设可得，即，解得或，因为，所以，所以，.由，知是平面的法向量，，.设平面的法向量为，则取得，设二面角为，则，因为，.综上，二面角的正弦值为.4.【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：由已知，得，在中，，∴，即，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面（2）∵平面，∴为直线与平面所成角，∴，∴，在中，，取的中点，连结，则，∵平面，平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面，以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，取，解得，又平面的法向量为，∴.∴二面角的余弦值为.5.【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有6.如图，在多面体ABCDMN中，四边形ABCD为直角梯形，//ABCD，22AB，BCDC，，四边形BDMN为矩形.（1）求证：平面ADM平面ABCD；（2）线段MN上是否存在点H，使得二面角的大小为4？若存在，确定点H的位置并加以证明.【解析】（1）证明：由平面几何的知识，易得2BD，2AD，又22AB，所以在ABD中，满足，所以ABD为直角三角形，且BDAD.因为四边形BDMN为矩形，所以BDDM.由BDAD，BDDM，，可得.又，所以平面ADM平面ABCD.（2）存在点H，使得二面角为大小为，点H为线段AB的中点.事实上，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则,1,0,1M，设,,Hxyz,由，即，得1,2,1H.设平面ADH的一个法向量为，则，即，不妨设11y，取.平面ADM的一个法向量为20,1,0n.二面角为大小为于是.解得或（舍去）.所以当点H为线段MN的中点时，二面角为大小为.7.在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知.（1）证明：APBC；（2）在线段AP上是否存在一点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.法二：如图，以O为原点，分别以过O点与DB共线同向的向量，OD，OP方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系Oxyz，则∴0APBC∴APBC∴APBC（2）假设M点存在，设AMAP，,,Mxyz，则，∴，∴，∴，∴设平面MBC的法向量为，平面APC的法向量为由得，令11y，可得，由得，令16y，可得，若二面角AMCB为直二面角，则120nn，得，解得613，∴故线段AP上是否存在一点M，满足题意，AM的长为61313.8.【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明理由；若存在，指出点的位置.【解析】（1）在中，记，，则由余弦定理：，（当且仅当时，上式取等号）此时，，的面积的最大值为.（2）由（1）知，，，设存在，在三棱锥中，取的中点，连接，易知.作于，由平面平面平面.故在平面上的投影为.与平面所成的角为，由.设，得，，故.故存在，且，满足题意.（2）另解：由（1），，设存在，则在三棱锥中，取的中点，连接，易求.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，设，得，得，又.由.故存在，且，满足题意.9.【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；（2）在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.（2）由已知条件可知，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，，.假设在棱上存在点，设，得，.记平面的法向量为，则即取，则，所以.要使直线与平面所成角的大小为，则，即，解得.所以在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为.此时.10.【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试】如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）线段上是否存在一点，使二面角所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴.假设线段上存在一点满足题意，，，，，易知：平面的一个法向量为，∵，，∴设平面的一个法向量为，由，得，取，得，，∴.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.11.如图，五面体11ABCCB中，14AB，底面ABC是正三角形，2AB，四边形11BCCB是矩形，二面角1ABCC为直二面角．（1）D在AC上运动，当D在何处时，有1//AB平面1BDC，并说明理由；（2）当1//AB平面1BDC时，求二面角余弦值．【解析】（1）当D为AC中点时，有1//AB平面1BDC．证明：连结1BC交1BC于O，连结DO，∵四边形11BCCB是矩形，∴O为1BC中点，又D为AC中点，从而1//DOAB，∵1AB平面1BDC，DO平面1BDC，∴1//AB平面1BDC．（2）建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，则(0,0,0)B，(3,1,0)A，(0,2,0)C，，，所以，，设为平面1BDC的法向量，则有即3,3,xzyz令1z，可得平面1BDC的一个法向量为，而平面1BCC的一个法向量为2(1,0,0)n，所以，故二面角的余弦值为31313．12.如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，//CDAB，且．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角PDCB，连接PAPB、，设PB中点为E．（1）证明：平面PBD平面PBC；（2）在线段BD上是否存在一点F，使得EF平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）详