五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式微分方程数值解计算科学系杨韧椭圆型方程的五点差分格式第三章椭圆型方程的差分格式02222yuxuLaplace方程),(2222yxgyuxuPoisson方程),(),(),(),(),(),(2222yxguyxfyuyxexuyxdyuyxcxuyxa一般方程椭圆型方程的五点差分格式§3.1正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟设Ω是xy平面中的具有正方形边界的一个有界区域，考虑Laplace方程的第一边值Dirichlet）问题),(),(),(),(02222yxyxfyxuyxyuxu椭圆型方程的五点差分格式网格节点（l，m）处的二阶中心差商代替二阶微商l,m+1l–1,ml,ml+1,ml,m–12,1,,1222huuuxumlmlml21,,1,222huuuyumlmlml椭圆型方程的五点差分格式Laplace方程的五点差分格式(3.6)为截断误差为O(h2)。041,1,1,,1,12mlmlmlmlmlUUUUUh-Ul,m+1-Ul–1,m4Ul,m-Ul+1,m-Ul,m–1椭圆型方程的五点差分格式令则Laplac方程的五点差分格式为（3.8）即mlmlmlmlmlmlUUUUUhU,1,1,,1,12,411,,2,1,0,MmlUml)1,,2,1,(04,1,1,,1,1MmlUUUUUmlmlmlmlml椭圆型方程的五点差分格式例1用五点差分格式求解Laplace方程在区域内的近似解，边界值为：取。02222yuxu40,40|),(yxyx40,0),4(,80),0(yyuyu40,180)4,(,20)0,(xxuxu1yxh椭圆型方程的五点差分格式解网格点如图所示U7U8U9U4U5U6U1U2U3u(1,0)=20u(2,0)=20u(3,0)=20u(1,4)=180u(2,4)=180u(3,4)=180u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0椭圆型方程的五点差分格式18041804260404048042042041004986987587496538654275416325321421UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU椭圆型方程的五点差分格式18018026000802020100410100000141010000014001000100410100010141010001014001000100410000010141000001014987654321UUUUUUUUU椭圆型方程的五点差分格式矩阵方程AU=K，K由边界条件所确定，解得U=[U1U2U3U4U5U6U7U8U9]’=A-1K=[55.714343.214327.142979.642970.000045.3571112.8571111.785784.2857]T100010001410141014IBBIIBIIBA其中TK]18018026000802020100[椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式加密网格，取h=0.5椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式定义向量为从左到右，自下而上的自然次序排列的未知函数值，则正方形区域Ω中的内部节点上的(M-1)2个线性方程写为矩阵方程AU=K,其中K由边界条件确定.TMMMMMMUUUUUUUUUU],,,;,,,;,,,[1,11,21,12,12,22,11,11,21,1)1,,2,1,(04,1,1,,1,1MmlUUUUUmlmlmlmlml椭圆型方程的五点差分格式)1()1(4114114114MMB22)1()1(MMBIIBIIBIIBA椭圆型方程的五点差分格式§3.2Neumann边值问题的差分模拟表示函数u沿着边界的外法线方向导数，在正方形的四个顶点上法向量没有定义，取平均值代替。),(),(10,10|),(),(02222yxyxgnuyxyxyxyuxunu椭圆型方程的五点差分格式讨论左边界x=0上的导数边值条件的差分模拟又由点（0，m）的五点差分格式消去U-1,m，得1,,2,12,0),0(,1,1MmgxuhUUmymmm04,01,01,0,1,1mmmmmUUUUU0,m+1-1,m0,m1,m0,m-1椭圆型方程的五点差分格式边界x=0上(3.14)边界x=1上(3.15)边界y=0上(3.16)边界y=1上(3.17)mmmmmhgUUUU,01,01,0,1,0224mMmMmMmMmMhgUUUU,1,1,,1,2240,0,10,11,0,224lllllhgUUUUMlMlMlMlMlhgUUUU,,1,11,,224椭圆型方程的五点差分格式边界x=0-2U1,m-U0,m+14U0,m-U0,m-1-2UM-1,m-UM,m+14UM,m-UM,m-1-Ul-1,04Ul,0-Ul+1,0-2Ul,1-Ul-1,M4Ul,M-Ul+1,M-2Ul,M-1边界x=1边界y=0边界y=1椭圆型方程的五点差分格式在顶点（0，0）,取偏导数的平均值作为外法线方向导数用一阶中心差商代替微商在顶点（0，0）,五点差分格式为故)0,0(20,0gyuxu-1,00,01,00,10,-10,00,10,11,01,0222ghUUhUU0,00,10,11,01,04hgUUUU040,01,01,00,10,1UUUUU0,00,01,00,14422hgUUU椭圆型方程的五点差分格式在四个顶点（0，0）（0，M）（M，0）（M，M）0,01,00,10,04224hgUUUMMMMhgUUU,01,0,1,042240,0,11,0,4224MMMMhgUUUMMMMMMMMhgUUU,1,,1,4224椭圆型方程的五点差分格式例1在单位正方形区域Ω上解Laplace方程的Nenmann问题解网格节点如图所示21,),(),(10,10|),(),(02222hyxyxgnuyxyxyxyuxuU7U8U9顶点U4U5内点U6边界点U1U2U3椭圆型方程的五点差分格式矩阵方程为98764321987654321220222420200000141020000024002000100420100010141010001024001000200420000020141000002024gggggggghUUUUUUUUU椭圆型方程的五点差分格式令则矩阵方程为BIIBIIBAIB221114214124Tggggggggg9876432122022TUUUUUUUUUU987654321hgAU2椭圆型方程的五点差分格式§3.3混合（Robins）边值条件),(),(),(),(),(02222yxyxnuyxuyxyxyuxu。其中0),(),,(yxyx椭圆型方程的五点差分格式例1用五点差分格式求解Laplace方程在区域内的近似解，边界值为：取。02222yuxu40,40|),(yxyx40,0),4(,80),0(yyuyu40,180)4,(,0)0,(xxuxuy1yxh椭圆型方程的五点差分格式解网格节点如图所示U10U11U12U7U8U9U4U5U6U1U2U3u(1,4)=180u(2,4)=180u(3,4)=180u(0,3)=80u(0,2)=80u(0,1)=80u(0,0)=80u(4,3)=0u(4,2)=0u(4,1)=0u(4,0)=0椭圆型方程的五点差分格式18041804260404048040404804024024802412119121110811107129861198751087496538654275416325321421UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU椭圆型方程的五点差分格式180180260008000800080410100000000141010000000014001000000100410100000010141010000001014001000000100410100000010141010000001014001000000200410000000020141000000002014121110987654321UUUUUUUUUUUU椭圆型方程的五点差分格式1000100014101410142IBBIIBIIBIIBA其中TK180180260008000800080椭圆型方程的五点差分格式解矩阵方程AU=KU=[71.821856.854332.2342…75.216561.680636.0412…87.363678.610350.2502…115.6276115.146886.3492]T椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式椭圆型方程的五点差分格式作业:1、P.115例3.1取h=1/3，利用五点差分格式写出求解节点上的Ul,m值的线性方程组及矩阵方程。2、P.159习题三2