1.5.1-曲边梯形的面积

1.5.1曲边梯形的面积oxy我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()yfx的一段，我们把由直线,(),0xaxbaby和曲线()yfx所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？y=f(x)baxyOA1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得如何求曲边梯形的面积AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2如何求曲边梯形的面积AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4如何求曲边梯形的面积y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近如何求曲边梯形的面积分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。“以直代曲”的具体操作过程曲边梯形的面积——分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代替后求和。O1xyyx2⑴分割1nin⑵近似代替⑶求和⑷取极限i-1n区间长度：△x=区间高：h=小矩形面积：△S=1ifn第i个小区间1ifn1n例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。解：1．分割在区间0,1上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn，其长度为11iixnnn。分别过上述1n个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S，2S，…，nS显然，1niiSSini-1n1Oyxy=x235.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图记近似代替x,.n1ifn1i,,xxf,ni,n1i,xΔ,n,35.1.xxf22235.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo.n,,2,1in1n1ixΔn1ifSΔSΔ,,SΔSΔ,ni,n1i,.45.12'iii'i则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲n1n1ixΔn1ifSΔSS45.1,232n1in1in1i'inn为中阴影部分的面积图由求和n1n1n102n1n1n222231n21n161n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值从而可得.61n2n1n1n21222可以证明.31n211n1131limn1ifn1limSlimS,Sn211n1131S,0xΔ,n,,55.1,20,,8,41,04nn1innnn从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间取极限55.1图oy2xy1xy2xy1xoy2xy1xoy2xy1xo例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。n1n2nknn'211122222233111()()111211101(12(1))1(1)(21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxOy解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:2xy因此,我们有理由相信,这个曲边三角形的面积为:lim111lim1261.3nnnSSnnn1n2nknnxy2xyOn1n2nknnxOy2xy.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1,0的等分数区间nSS的近似值51225612864321684233235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。（1）分割（3）求和把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S的近似值。（4）取极限noxy(2)近似代替课本P42练习求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。O2xyyx22in2i-1n833．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间,ab中任意插入1n各分点，将它们等分成n个小区间1,iixx1,2,,in，区间1,iixx的长度1iiixxx，第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．3．求曲边梯形面积的四个步骤:第三步：求和．第四步：取极限。说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割→近似代替→求和→取极限2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值练习:求直线x=0,x=2,y=0与曲线2yx所围成平面图形的面积。回顾总结1．求曲边梯形的思想和步骤：分割→近似代替→求和→取极限(“以直代曲”的思想）。