1.5.1-曲边梯形的面积-1.5.2-汽车行驶的路程

教学目标1.理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。教学重难点重点掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）。难点对过程中所包含的基本的微积分“以直代曲”的思想的理解。xy0直线xy0几条线段连成的折线xyo曲线探究思考问题1：你能求出下面图像的面积吗？问题2：第三幅图的面积应该怎么求呢？曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Oxyaby=f(x)x=ax=b探究思考因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）。P放大再放大PP探究思考y=f(x)baxyOA1用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1。探究思考AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2探究思考AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4探究思考y=f(x)baxyO将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为AA1+A2++AnA1AiAn——以直代曲,无限逼近探究思考当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)△x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值探究思考xxfxxfxxfn)()()(21求曲边梯形的面积即求下的面积)(xfy0)(xf——分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代后求和。若“梯形”很窄，可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？——以直代曲Oabxy)(xfyOabxy)(xfy探究思考例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。n1n2nknn'211122222233111()()111211101(12(1))1(1)(21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxOy解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:2xy探究思考详细过程探究思考因此,我们有理由相信,这个曲边三角形的面积为:lim111lim1261.3nnnSSnnn1n2nknnxOy2xy（1）分割过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作.S,,S,,S,Sni21把区间[0，1]等分成n个小区间：nnnnnininnn,1,,,1,2110，，，，nninix11每个区间的长度为探究思考（2）以直代曲n1)n1i(x)n1i(fS2i（3）作和])1n(210[n1n1)n1-i(n1)n1-if(SSSSS22223n1i2n1in1iin21探究思考（4）逼近。面积为，即所求曲边三角形的所以时，亦即当分割无限变细，即3131S31)n12)(n11(61)12n(n)1n(61n1])1n(210[n1)n(0x322223分割以曲代直作和逼近探究思考探究思考思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？例如S(t)=3t2+2.则v(t)=S´(t)=6t+0.思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？S=vt直接求出探究思考思考3：如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=－t2+2。那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程S是多少呢？2()2vtt=-+Ovt12探究思考思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=－t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.nnSSlim