1.3衡量精度的指标

知识回顾观测误差的分类:粗差系统误差偶然误差偶然误差的特性:-1.6-1.2-0.8-0.40+0.4+0.8+1.2+1.622221)(ef有界性密集性对称性抵偿性358个三角形内角和闭合差误差区间-△+△0.00～0.2045460.20～0.4040410.40～0.6033330.60～0.8023210.80～1.0017161.00～1.2013131.20～1.40651.40～1.60421.6000和181177内容安排一、基本概念二、方差和中误差三、平均误差四、或然误差五、极限误差和相对误差六、结论衡量精度的指标精度：一、基本概念准确度：精确度：观测值与其数学期望的接近程度观测值数学期望与其真值的接近程度观测值与其真值的接近程度1.精度（1）定义：描述误差分布的密集或离散程度，即离散度的大小；精度表示的是观测值与其数学期望的接近程度。甲乙丙（2）特征：精度是衡量偶然误差大小程度的指标。所谓精度高低，是对不同观测组而言。对于同一组的若干个观测值，因对应于同一种误差分布，故每个观测值的精度都相同。在相同观测条件下进行的一组观测，每一观测值都称为等精度观测值。注意：2.准确度（2）特征：准确度是衡量系统误差大小程度的指标。（1）定义：指随机变量的真值与其数学期望之差。()ELL~)(~LEL甲乙丙甲乙丙3.精确度（2）特征：精确度反映了偶然误差和系统误差联合影响的大小程度。（1）定义：指观测结果与其真值的接近程度；LL~包含观测结果与其数学期望接近程度和数学期望与其真值的偏差。组成误差分布表衡量观测值精度4.精度评定误差区间—△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495358个三角形内角和闭合差误差区间—△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200…………………….………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501421个三角形内角和闭合差衡量观测值精度绘制直方图-1.6-1.2-0.8-0.40+0.4+0.8+1.2+1.6-2.4-2.0-1.6-1.2-0.8-0.40+0.4+0.8+1.2+1.6+2.0+2.4组成误差分布表4.精度评定画出误差分布曲线左图误差分布曲线陡峭，对应的精度高右图误差分布曲线平缓，对应的精度低Δf(Δ)Δf(Δ)4.精度评定给出确定的数值，用以表示一定测量条件下测量结果的精度，即为精度评定。注意:①只有从误差的总体分布中，才能得出反映测量结果精度的真实数据。②在实用上，只能是通过对有限个误差进行统计，所以精度评定又称为精度估计。4.精度评定•方差和中误差（重点）•平均误差•或然误差常用的衡量精度的指标：4.精度评定•极限误差•相对误差内容安排一、基本概念二、方差和中误差三、平均误差四、或然误差五、极限误差和相对误差六、结论衡量精度的指标方差：随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望。]))([()(22EED二、方差和中误差df)()(22nn][lim222221][nn][ˆ2)(2E中误差：二、方差和中误差方差：n][ˆ2nˆ①各真误差必须对应同一测量条件。②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。如：注意8.16.324350mmm245.258“±”并不代表该误差范围，而是测量上约定俗成的习惯。越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。二、方差和中误差f(Δ)Δ0.15.05.1结论：例1:设某一角度，用两台经纬仪各观测了9次，其观测值见表。该角已用精密经纬仪预先精确测定，其值为(看作真值)。求出两台经纬仪观测值的中误差并比较精度高低。'''503354.1二、方差和中误差77.19/27.28ˆ128.29/74.71ˆ2第一台经纬仪第二台经纬仪编号观测值LΔΔ2观测值LΔΔ212345678950°33′52.6″54.853.655.052.253.854.758.156.2+1.5-0.7+0.5-0.9+1.9+0.3-0.6-4.0-2.12.250.490.250.813.610.090.3616.004.4150°33′50.7″59.654.252.657.851.353.956.455.0+3.4-5.5-0.1+1.5-3.7+2.8+0.2-2.3-0.911.5630.250.012.2513.697.840.045.290.81Σ28.2771.74因，故第一台经纬仪所得观测值的精度比第二台高。21ˆˆ二、方差和中误差'''503354.1内容安排一、基本概念二、方差和中误差三、平均误差四、或然误差五、极限误差和相对误差六、结论衡量精度的指标一定观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差，记作。()()limnEfdn三、平均误差平均误差是一组独立偶然误差绝对值的算术平均值。ˆ可见，同一测量条件下，与有着完全确定的关系，对应着相同的误差分布曲线。因此，也可用平均误差作为衡量精度的指标。547979.0245253.12三、平均误差平均误差与中误差的关系：，第一台经纬仪编号观测值LΔ150°33′52.6″+1.5254.8-0.7353.6+0.5455.0-0.9552.2+1.9653.8+0.3754.7-0.6858.1-4.0956.2-2.1例2:以例1中第一台经纬仪数据为例，求观测值的平均误差。99.091.25.07.05.1ˆ24.177.154ˆ54ˆ三、平均误差内容安排一、基本概念二、方差和中误差三、平均误差四、或然误差五、极限误差和相对误差六、结论衡量精度的指标21)(df误差出现在之间的概率等于，则此数值称为或然误差。即：),(21四、或然误差f(Δ)ΔΔ414121326745.0234826.1或然误差与中误差的关系：四、或然误差Δ将在相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，中间的数或中间两数的平均值作为或然误差。，第一台经纬仪编号观测值LΔ150°33′52.6″+1.5254.8-0.7353.6+0.5455.0-0.9552.2+1.9653.8+0.3754.7-0.6858.1-4.0956.2-2.1例3:以例1中第一台经纬仪数据为例，求观测值的或然误差。81.177.132ˆ32ˆ5.06.07.09.05.19.11.20.49.0ˆ3.0四、或然误差内容安排一、基本概念二、方差和中误差三、平均误差四、或然误差五、极限误差和相对误差六、结论衡量精度的指标在实际工作中，常依据一定的测量条件规定一适当数值，使在这种测量条件下出现的误差，绝大多数都不会超出此数值，这一限制数值，即被称为极限误差。五、极限误差和相对误差1.极限误差测量条件好极限误差应规定的小测量条件差极限误差应规定的大一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为极限误差。误差落在、和的概率分别为：),()2,2()3,3(%7.99)33(%5.95)22(%3.68)(PPP3限限%7.99)3(%5.95)2(%3.68)(PPP1.极限误差五、极限误差和相对误差对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。相对中误差，它是中误差与观测值之比。N12.相对误差在测量中一般将分子化为1，用表示。五、极限误差和相对误差五、极限误差和相对误差2.相对误差解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差相等，均为±2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为2/100000=1/50000，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/25000。第一条边精度高。角度元素没有相对精度。例:观测了两段距离，分别为1000m±2cm和500m±2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？六、结论①用、或估计精度，只有当观测值较多时，结果才可靠。ˆˆˆ②由一系列观测结果所求得的中误差，反映了该观测系列的测量条件，它是每一个观测值的中误差，也是相同测量条件下其它观测值的中误差。第一台经纬仪第二台经纬仪编号观测值LΔΔ2观测值LΔΔ212345678950°33′52.6″54.853.655.052.253.854.758.156.2+1.5-0.7+0.5-0.9+1.9+0.3-0.6-4.0-2.12.250.490.250.813.610.090.3616.004.4150°33′50.7″59.654.252.657.851.353.956.455.0+3.4-5.5-0.1+1.5-3.7+2.8+0.2-2.3-0.911.5630.250.012.2513.697.840.045.290.81Σ28.2771.7477.19/27.28ˆ128.29/74.71ˆ2六、结论⑤我国测量规范规定统一用中误差作为衡量精度的指标。③当观测值个数n不大时，用中误差估计精度更为可靠、灵敏一些。5.09.01.10.44.13.10.23.1ˆ2.1ˆ2.1ˆ9.1ˆ6.1ˆ3.1ˆ④中误差与平均误差和或然误差之间存在着确定的函数关系。并且在误差曲线上中误差具有明确的几何意义。f(Δ)Δ0.15.05.11、几个名词误差测量误差(观测误差)相对误差真误差绝对误差方差中误差平均误差或然误差极限误差名词偶然误差随机误差精确度系统误差衡量精度的指标粗差精度准确度小结2、一个事实不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。3、基本假设在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。4、统计规律在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；偶然误差的理论平均值为零。小结这部分是本课程的重点内容之一。重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。难点：精度、准确度、精确度等概念。要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。复习思考题