双谱

双谱1.1矩与累积量一连续性随机变量x，它的概率密度函数为f（x），而g（x）是任意函数，g（x）的数学期望定义为：dxxgxfxgE)()()]({，特别的，当jwxexg)(时，则有dxexfeEwjwxjwx)(}{)(，称他为第一特征函数。他是概率密度函数f（x）的傅立叶反变换。由于概率密度函数大于等于0.所以第一特征函数在原点具有最大值。即1)0()(w第二特征函数：)(ln)(ww。令w=0，可求X的k阶矩：)0()()()(}{)(0kkwkkkkkjdwwdjxEm令w=0，也可求X的k阶累积量：)0()()(ln)()(0kkwkkkkxjdwwdjc单个随机变量推广到多个随机变量，令kxx...1是k个连续性随机变量，结合他们的联合概率密度函数求得第一特征函数和第二特征函数。即可求得随机变量kxx...1的r阶联合矩和r阶联合累积量。0...111111......)...()(}...{1wkwrkkrkrrrkkrrrwd)...(ln)()...(wkwrkkrkrrrkkrrkrwd=…..rk=1，既可以得到k个随机变量的k阶矩和k阶累积量。0...11111....1...)...()(}..{wkwkkkkkwd)...(ln)()...(wkwkkkkkwd（t），令)()........(),(1121kktxxtxxtxx，并称1....11),.....1(mmkkx是随机信号x（t）的k阶矩，于是可表示为下式：)}().....1()({),.....1(1ktxtxtxEmkkx类似的，随机信号x（t）的k阶累积量可表示为下式：)}(),.....1(),({),.....1(1ktxtxtxcumckkx令{kxx...1}是k个随机变量组成的集合，其符号集为I={1,2….K},可将该集合分为若干个互不相交的也不为空的集合，用)(Imx和)(Icx表示随机信号的x（t）的k阶矩和k阶累积量。用)(pxIm和)(pxIc分别表示其符号集为pI的矩和累积量。如果pI={1,3},则)}2()({)(txtxEImpx,)}2(),({)(txtxcumIcpx累积量可以用矩表示：IIqppxqxPqpImqIc111)()!1()1()(，q是分的集合数。矩可以用累积量表示为IIqppxxPqpIcIm11)()(例如对于零均值随机过程有)()}()({)(2xxRtxtxEc)}()()({),(21213txtxtxEcx实际应用中需要根据已知样本估计各阶累积量，如果非高斯信号的2K阶绝对可求和，则和得到样本x（1）…x（k）的高阶累积量公式)()()(1),(211213txtxtxNcNnx)()()(1),,(2113214txtxtxNMNnx1.2高阶谱定义：若高阶矩是绝对可求和的，则k阶谱定义为k阶矩的（k-1）为离散傅立叶变换即：1)..........11(1111111).....(......)....(kwwjkkxkkxkkemwwM定义：若高阶累积量是绝对可求和的，则k阶累积量谱定义为k阶累积量的（k-1）为离散傅立叶变换即：1)..........11(1111111),.....(......)....(kwwjkkxkkxkkeCwwS一般使用高阶累积量和高阶累积量谱，合称为高阶谱，一般三阶谱称为双谱，四阶谱称为三谱，他们分别是两个和三个频率上的能量谱。用),(21wwBx表示双谱，用),,(321表示三谱。双谱的性质：1，双谱一般为复数：),(212121),(),(wwjxxbewwBwwB2，双谱是双周期函数，两个周期均为2，)2,2(),(2121wwBwwBxx3，双谱具有对称性),(),(),(),(),(),(),(21212121122112*12211.3基于双谱的时延估计：设信号)()()(1tntstx)()()(2tntsty，为时延，对接收信号离散化，可得X(n)双谱：)](*)()([),(2121213wwXwXwXEwwBx，三阶累积量的二维傅立叶变换互谱：jwDxxyxewwBwwXwYwXEwwB),()](*)()([),(213212121于是有jwDxxyxewwBwwBwwA),(),(),(2132121可由下面方法计算：)(),()(2121DwdwewwAhjw所以，在D处，)(h取得峰值，此时取得时延估计值D。