自动控制原理习题第三章

第三章：例1一单位反馈控制系统的开环传递函数为()(1)KKKWsss，其单位阶跃响应曲线如图P3-1所示，图中的1.25mX，1.5mts。试确定系统参数KK及值。图P3-1题3-11系统的单位阶跃响应曲线解由图P3-1可知2211.51()1.251%100%100%25%100%()1mnmtxxex解得0.42.285n本系统的开环传递函数整理为()1KKKWsss与标准形式22nknWsss相对比得222.2851220.42.285KnnK解得2.8560.547KK例2已知单位反馈控制系统的开环传递函数为()(1)KKKWsss,试选择KK及值以满足下列指标:(1)当()rxtt时，系统的稳态误差()0.02ve；(2)当()1()rxtt时，系统的%30%,(5%)0.3sts。解（1）从系统的开环传递函数()(1)KKKWsss，可以看出此系统为I型系统，由稳态误差与系统类型的关系表（见表3-1）得表3-1稳态误差与系统类型关系表当()rxtt时，1()0.02vKeK所以50KK（3-3）（2）系统的闭环传递函数为2()()11()KKBKKKWsWsKWsss，由题意得1)21%100%30%e解得0.3582)3(5%)0.3snt解得27.9n3)与标准形式相对比,得212KnnK即38.90.05KK（3-4）由式(3-3)、(3-4)得0.0550KK例3一单位反馈控制系统的开环传递函数为0ⅠⅡrX()eN1()tt212t11KK∞∞01KK∞001KK1()(1)KWsss求：（1）系统的单位阶跃响应及动态特性指标%、rt、st、；(2)输入量()rxtt时，系统的输出响应；(3)输入量()rxt为单位脉冲函数时，系统的输出响应。解系统的闭环传递函数为2()1()1()1KBKWsWsWsss与标准形式相对比,可得2121nn即10.5n（1）当输入量为1()1rxtt时1）由公式求得系统的单位阶跃响应为21221()1sin(1)11arctanntcnxtet（3-1）将0.5,1n代入式（3-1）,整理得21()=11.15sin(0.86660)tcxtet2）211.81%100%100%16.4%ee3）22.421rnts4）3(5%)6snts4(2%)8snts5）23.631mdnts2227.261fdnts5%60.8265%7.26sftt(2)当输入量为2()rxtt时，求系统的输出响应。方法一根据传递函数的定义，利用拉氏变换和拉氏反变换进行计算。输入量的拉氏变换为221()rXss,则22221()()()(1)cBrXsWsXssss221ABCsDssss式中220()1csAXss220()1csdBXssds20.50.86620.50.866()(1)sjcsjCsDXsss得21130.50.866220.50.866CDjCjj令等式两边实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得1,=0CD2222222211()1110.50.5(0.5)0.866(0.5)0.866csXssssssssss所以将上式进行拉氏反变换，得到系统的输出响应为0.50.52313()1cossin223ttcxttetet方法二利用线性系统的性质进行计算。因为2100()1ttrrxtttdtxdt所以，利用线性系统的性质得221000.50.5()11.15sin(0.86660)3131cossin223tttccttxtxdtetdtteteto（3）当输入量3()()rxtt时，求系统的输出响应。方法一根据传递函数的定义，利用拉氏变换和拉氏反变换进行计算。输入量的拉氏变换为3()1rXs则3322211()()()1(0.5)0.866cBrXsWsXssss将上式进行拉氏反变换，得到系统的输出响应0.5323()sin23tcxtet方法二利用线性系统的性质进行计算。因为131()rrdtdxtxttdtdt所以，利用线性系统的性质得2130.511.15sin(0.86660)()23sin23tcctdetdxtxtdtdteto例4设系统如图3-2所示，试求：图3-2控制系统结构图（1）当0,8aK时，确定系统的阻尼比，无阻尼自然振荡频率n和()rtt作用下系统的稳态误差。解：由题意，系统的开环传递函数为(2)()()()(2)1(2)KKssWsHSWsKssaKasss系统的闭环传递函数为2()1()(2)BWsKWWssaKsK当0,8aK时，代入2828BWss，可得28n，222.828/nrads，22n，10.353622，0lim()()4vsKsWsHs。()rtt作用下系统的稳态误差10.25ssveK。（2）当8,0.7K时，确定参数a的值及()rtt作用下系统的稳态误差。解：当8,0.7K时，28()(28)8BWssas，222.828/nrads，228na，代入可得到：0.2450a，08lim()()3.96vsKsWsHs，()rtt作用下系统的稳态误差10.4950ssveK（3）在保证0.7，稳态误差0.25sse的条件下，确定参数a和K的值。解：0lim()()2vsKKsWsHsaK，120.25ssvaKeKK，得84KaK。又由0.7，可得22KaK，即81.4244KKKKK，得31.36K，0.1862a。例5已知系统的结构图如图3-3所示，试用劳斯判据确定使系统稳定的fK值范围。图3-3解由系统结构图可知开环传递函数2110()(1)(110)KfWsssKs系统特征方程为210(1)1()10(110)KfsWsssK将其展开32(110)10100fsKss列劳斯表，得321011011010101011010ffssKsKs当101001+101100ffKK时系统稳定，解不等式，得0fK例6一复合控制系统的结构图如图3-4所示，其中1231KK，20.25Ts，22K。试求(1)输入量分别为1txr，ttxr，221ttxr时系统的稳态误差；(2)系统的单位阶跃响应，及其%，st。图3-4解系统的闭环传递函数为20.51()0.2512BsWsss系统的给定误差的拉式变换为2210.25()(3-24)0.252BrrEsWsXssXsss（1）当()1rxt时，即1()rXss，代入式(3-24)得20.25()0.252sEsss系统的稳态误差为22000.25()lim()lim00.252sssesEsss当()rxtt时，即21()rXss，同理可得2000.25()lim()lim00.252sssesEsss当21()2rxtt时，即31()rXss，同理可得2000.25()lim()lim0.1250.252ssesEsss（2）系统的闭环传递函数为22()248()()0.25248cBrXsssWsXsssss可知该系统为具有零点z的二阶系统,将其化为标准型222222122nnBnnnnsszWsszss即282()248BsWsss所以8n4122n2z根据具有零点的二阶系统的计算公式，得22222()(1)211arctanarctan145rad412arctanarctan90rad02nnnnnlzrzz由式（3-15）、式（3-16）、式（3-19）分别解得：单位阶跃响应为2221()1sin(1)1312sin(2)4ntcntlxtetzet调节时间为1(5%)3ln1.5snltsz最大超调量为图3-5例821221%2100%21%rre