第4章--原子的精细结构：电子自旋

1第四章原子的精细结构:电子的自旋§4.1原子中电子轨道的运动磁矩§4.2史特恩－盖拉赫实验§4.4碱金属原子双线结构§4.3电子自旋的假设§4.5塞曼效应2前面我们用玻尔理论详细讨论了氢原子和碱金属原子的能级与光谱，理论与实验符合的很好，可是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还有精细结构，这说明我们的原子模型还很粗糙。本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成以及磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构，并且我们要介绍史特恩-盖拉赫实验，塞曼效应，碱金属双线三个重要实验，它们证明了电子自旋假设的正确性。电子自旋假设的引入，正确解释了氦原子的光谱和塞曼效应。3由电磁学知识容易看出，电子的运动使它和原子核之间除了存在库仑作用之外还应该存在磁相互作用，而且通过计算得知磁相互作用比电相互作用要弱的多，既然电相互作用导致了原子的粗线条结构，那么磁相互作用就决定了原子的精细结构。而在实验中我们的确发现了光谱线的精细结构，如巴尔末系中的线不是单线，其中含有七条谱线等H玻尔理论考虑了原子中最主要的相互作用，即原子中电子和原子核的静电相互作用，也可以称为库仑作用，这种作用导致了原子内部的粗线条结构，如巴尔末光谱系等。4§4.1原子中电子轨道的运动磁矩从电磁学理论出发，得到电子轨道运动引起的磁矩的经典表达式，根据量子力学的计算结果，得出电子轨道磁矩的量子表达式。对电子轨道磁矩的讨论使我们发现，电子运动轨道的大小，运动的角动量以及原子内部的能量都是量子化的。不仅如此，我们还将看到，在磁场中或电场中，电子的轨道只能取一定的方向，一般地说,在电场或磁场中，原子角动量的方向也是量子化的，人们把这种情况称作空间量子化。1.电子轨道磁矩的经典表示式5电磁学中我们学习过，闭合通电回路具有磁矩：niS由于电子带负电，所以它绕核运动就形成一个闭合通电回路，从而也具有一定的磁矩。iernLinr电子的轨道磁矩大小的经典表示式为：61)-(182222222LLmeμμLLmermmerereSiμeeee＝－反向，所以和因为eme2称旋磁比L为电子的轨道角动量7磁矩在外磁场B中受力矩，将引起角动量的变化Bμτ3)-(182)-(18μω＝dtμdBγμdtμdLγBμdtLd或其中ω=γB是电子磁矩绕外磁场方向旋转的角速度，称为拉莫尔进动的角速度。拉莫尔进动是电子磁矩或角动量绕外磁场旋进的运动。B(z)dtdsinLdtdLesindd8由此可见，在均匀外磁场B中，高速旋转的磁矩并不向磁场B方向靠拢，而是以一定的角速度ω绕B作进动，且ω与B同向进一步分析：图为与B垂直的进动面上的一小块扇面，显然有ddsinsinsindtddtd则dtd即9因为μ=-γL，且量子力学的角动量是量子化的4)-(181,,2,1,0,)1()1(2nlllllmeBel14123223Tev105788.0TJ109274.0mA109274.02eBme2.的量子表示其中l为角动量量子数，所以1,,2,1,0,)1(nlllL为玻尔磁子，是轨道磁矩的最小单元。是原子物理学中的一个重要常数。10lmmLllz,,2,1,0其中ml为磁量子数，共有（2l+1）个取值。（此式将在《量子力学》中学习）所以在z方向的投影为：lzl,5)-(18,,2,1,02,lmmmemLlBlelzzl可以看出μB是轨道磁矩的最小单元又因为量子力学中角动量在z方向的投影大小为：L11另外，因为)(212121222eaceemcemeeeB可见磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级，所以电相互作用决定原子的粗线条结构而磁相互作用决定了原子的精细结构。原子的磁偶极矩的量度精细结构常数第一玻尔半径原子电偶极矩的量度3.角动量取向量子化122)1(llL0,,-:有三个取值lzmL我们知道，当l=1时:即角动量矢量在空间有三个取向Z02L轨道角动量的大小及其z分量Lz的取值是量子化的，而Lz取值的量子化意味着角动量在空间取向是量子化的，因为对于每一个l值有2l+1个ml值,即在z轴上应有2l+1个分量，因而有2l+1个取向。LvLL13与l=1情况相同，我们有l=2时有5个取向，l=3时有7个取向即，角动量量子数为l时，其在空间有2l+1个取向，它对应有2l+1个投影值ml6L2lZ0222,,02)(2,1,0,)2(,6)12(2zlLlmlL14§4.2史特恩－盖拉赫实验通过第一节的学习，我们知道不仅原子中电子轨道的大小、形状和电子运动的角动量、原子内部的能量都是量子化的，而且在外部磁场中角动量的空间取向也是量子化的。史特恩－盖拉赫实验就验证了原子在外磁场中取向量子化的结论15实验装置O中装有被加热成蒸汽的某种基态原子，原子从O中逸出后通过狭缝s1、s2形成以速度v沿水平方向（x）运动的原子束，然后通过一个只沿Z方向变化的磁场，最后打到观察屏P上。16实验结果与经典预言的对比怎么解释预言与结果的差异呢？17磁矩在非均匀磁场B中如同电偶极子在非均匀电场中一样，质心会受力作用而运动：)(-BμFl磁场和热平衡时原子速度分别满足：0,yBxB,0zBkTmv32其中k为玻尔兹曼常量，T为绝对温度18原子以速度v进入非均匀磁场B中，沿x方向不受力,作匀速运动：x＝vt。沿z方向作匀加速运动，有：3)-(19212tazz)2(,)(BlellzlzlzzmmemzBBzFF如果磁场只是沿Z方向不均匀，则：)(-BμFl194)-(1931)22(2221kTdDzBmvdDzBmvdDddzBzzzlzlzlz＝原子沿z总位移原子不受力，作自由运动。经D-d/2后沿z偏移为：vdDvdzBmttatvzlzz221222在x从d到D＋d/2段222212121211mvdzBvdmFtazlzzz在x＝d处20如图知：因此说原子蒸气送入不均匀磁场后，发射的原子束分裂为多束，每束沿z方向偏离平衡位置的距离为：5)-(19cosllzkTdDzBmvdDzBzlzlz32＝按照经典预言应该是个连续值，由于是个确定值，所以是个连续值，而是量子化的，只能是连续的，即磁矩空间取向是连续的。kTdDzBmvdDzB32或lzBlll)1(cosz21而实验结果中z却是量子化的，从而要求必须量子化，即要求量子化，即磁矩的空间取向是量子化的。lzcos从而证明了磁矩空间取向的量子化特征。掌握：史特恩－盖拉赫实验的意义5)-(19cosllzkTdDzBmvdDzBzlzlz32＝22例题史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄银原子束通过不均匀横向磁场，磁场的梯度为，磁极纵向范围d=0.04m，从磁极中心到屏距离D=0.14m，原子的速度。在屏上两束分开的距离l为0.002m。试确定原子磁矩在磁场方向上投影的大小（设磁场边缘的影响可忽略不计）。T/m10/3ZBm/s1052v解：原子束偏离平衡位置距离公式：2mvdDzBzlz由题意知：m001.02lz将各量数值带入得：银原子质量：kg1066.110827mJ/T1093.023lZ23思考：具有磁矩的原子，在横向均匀磁场和横向非均匀磁场中运动时有什么不同？(考研题)设原子的磁矩为，磁场沿Z方向，则原子磁矩在磁场方向的分量记为，于是具有磁矩的原子在磁场中所受的力为，其中是磁场沿Z方向的梯度。因为对于均匀磁场有，原子在磁场中不受力，原子磁矩绕磁场方向做拉莫尔进动，且对磁场的取向服从空间量子化规则。对非均磁场有，原子在磁场中除做上述运动外，还受到力的作用，原子束的路径要发生偏转。ZZBFZZB0ZB0ZB24中国科技大学《原子物理学》2004考研真题2526按照氢原子玻尔理论，基态氢是1s态，l＝0，ml＝0，所以μz＝0，不受力，一条原子束不会分裂为两束！且分裂条数（2l+1）不可为偶数！！如何解释这一矛盾呢？仔细观察实验结果，我们发现氢（基态）原子（T=7×104K,kT=9.0eV10.2eV）进入史特恩－盖拉赫装置后分裂为两束；基态氧原子分裂为五束，汞原子束不分裂。这说明到此为止，我们对原子的描述仍是不完全的，通过下一节课的学习，我们将使这种描述更趋于完美！§4.3电子自旋的假设27在史特恩－盖拉赫实验中出现了偶分裂的情况，即2l+1为偶数，这要求l为分数形式，然而这种可能性是不存在的。1925年，两位不到25岁的荷兰大学生乌仑贝克和古兹米特大胆地提出电子的自旋运动的假设：电子不是点电荷，它除了轨道角动量外，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量：s1、乌仑贝克与古兹米特提出电子自旋假设与轨道角动量进行类比知，自旋角动量的大小为：为自旋量子数sss)1(s282)-(2021211)-(2021)1(ssszmmssss自旋量子数sssmmsssz,,1,有2l+1个空间取向，则自旋角动量有2s+1个空间取向：ls实验表明，对于电子，s=1/2，所以有：sms,,2,1,0注意不可记为：zzmS2S2S29电子的自旋不能理解为像陀螺一样绕自身轴旋转，它是电子内部的属性，与运动状态无关。在经典物理中找不到对应物，是一个崭新的概念电子自旋假设受到各种实验的支持，是对电子认识的一个重大发展。狄拉克于1928年找到一种与狭义相对论相融洽的理论，可由狄拉克相对量子力学严格导出电子自旋的自然结果。“自旋”概念是量子力学中的新概念，与经典力学不相容，一经提出便遭到泡利等一批物理学家的反对。但后来的事实证明，自旋的概念是微观物理学最重要的概念之一。如果视电子为带电小球，半径为0.01nm，它绕自身的轴线旋转，则当其角动量为时，表面处的切向线速度大大超过光速!21304)-(2021231)(s2,BBzsBBssssmeμ2、朗德g因子任意角动量量子数j对应的磁矩及在z方向的投影可以表示为：5)-(201)(,BjjzjBjjmgjjg自旋角动量必然伴随有自旋磁矩，由实验得出：s注意上式与轨道磁矩的表达形式不同，但这是实验结果，所以是正确的。为了统一轨道磁矩和自旋磁矩的形式，我们引入朗德因子。31即（20-4）式BlzlBlmll,1)(对于轨道角动量，j＝l，gl=1，则上式写为：这就是我们前面得到的结论对于自旋角动量，j＝s，gs=2，我们可以得到：BBzsBBss21231)(s2,32可见，朗德g因子是一个反映物质内部运动的重要物理量。注：自旋量子数s为什么取1/2，而不是其他的值？这是由于我们所提出的自旋仅是一个假设，它的提出是为了揭示一系列实验事实，固s的取值也是为了满足实验结果而定的。333、单电子g因子表达式电子有轨道角动量，又有自旋角动量，所以它们可以矢量合成为电子的总角动量：lsslj1)(jjj按照量子力学观点，总角动量大小为其中j为总角动量量子数，总角动量在z方向的投影为jjjmmjjjz,,1,,jmj,,2,1,0注意不可记为：34按照量子力学角动量耦合理论，量子数j取值为对于单电子，s＝1/2,所以slslslj,1,取两个值时时21,21,0;21,0lljl