中考数学中的折叠问题

1D'C'B'DABCMEFBE'D'ACDEF中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。例1（成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在'BM或'BM的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A、85°B、90°C、95°D、100°分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。由题意可知：∠BME=∠'EMC，∠CMF=∠'FMC，''180BMCCMC°，又'CM与'BM重合，则∠EMF=∠'EMC+∠'FMC=''11()18022BMCCMC°=90°，故选B。例2（武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE纸片按如图的方式折叠，折痕为AF,点E、D分别落在'E、'D。已知∠AFC=76°，则'CFD等于（）A、31°B、28°C、24°D、22°分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：'AFDAFD180°-76°=104°，则'CFD=104°-76°=28°，故选B。例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点'A的位置，若OB=5，1tan2BOC，则点'A的坐标为。分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。xA'BOyCAGEF2图1DABCEGF(甲)(乙)例4（浙江省实验区中考题）现有一张长和宽的比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕），除图甲外，请再给出一个不同．．的操作，分别将折痕画在矩形中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。例5（南京市中考题）已知矩形纸片，AB=2，AD=1。将纸片折叠后，使顶点A与边CD上的点E重合。(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF=23，求DE的长；(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。分析与解答：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=23，∠D=90°，根据轴对称的性质，得EF=AF=23。∴DF=AD-AF=13，在Rt△DEF中,由勾股定理得22213333DE。（2）设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AO=EO，取AD的中点M，连接MO，则MO=12DE，图2DAGBFECMNO3MO∥DC。设DEx，则12MOx，在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心。延长MO交BC于点N，则ON∥CD，∴∠CNM=180°-∠C=90°∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形。∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=122x∵△AED的外接圆与BC相切，∴ON是△AED的外接圆的半径。∴OE=ON=122x，AE=2ON=4-x。在Rt△AED中，222ADDEAE∴2221(4)xx解这个方程，得158x。∴158DE，1172216OEx。根据轴对称的性质，得AE⊥FG，∴∠FOE=∠D=90°。又∵∠FEO=∠AED，∴△FEO∽△AED，∴FOOEADDE，∴OEFOADDE可得1730FO又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO∴△FEO≌△GAO∴FO=GO∴17215FGFO，∴折痕FG的长是1715。中考实战一:一、选择题1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）A．4B．3C．4D．82.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（）Ａ．20Ｂ．22Ｃ．24Ｄ．3044.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE=（）A．60°B．67.5°C．72°D．75°5.（绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4)）.从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A．34cm2B．36cm2C．38cm2D．40cm2二、填空题7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠BEG°．8.（苏州市）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度．5三、解答题9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．10.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？611.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．（1）求证：EF∥BD；（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长．12.（烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．13.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．714.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？815.（邵阳市）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图②）．（1）在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD．（画图工具不限，不要求写画法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.（１）求证：△PBE∽△QAB；（２）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；（３）如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？917.（临安市）如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E//x轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.1018.（南宁市）如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x(0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？19.（宁夏回族自治区）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．证明：（1）BF=DF；（2）AE∥BD．11中考实战二:一、选择题1.（山东日照4分）在平面直角坐标系中，已知直线334yx与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是A、（0，34）B、（0，43）C、（0，3）D、（0，4）2.（天津3分）如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（）(A)15°(B)30°(C)45°(D)60°3.（重庆４分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是()A、1B、2C、3D、44.（浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF