高阶常系数线性微分方程、欧拉方程

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第三十讲一元微积分的应用(六)——微积分在物理中的应用第七章常微分方程本章学习要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.知道下列高阶方程的降阶法：.)()(xfyn),,(yxfy),,(yyfy了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法.熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法.第五节二阶常系数线性微分方程0yqypy二阶常系数齐线性方程)(xfyqypy二阶常系数非齐线性方程特征方程02qp特征根,212211yCyCy通解*y特解*yyy通解一、二阶常系数齐次线性微分方程形如)1(0yqypy)(常数。实为的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，qp、其中得的解，则代入方程后，假设方程有形如xey02，xxxeqepe即02。qp特征方程二阶常系数齐线性微分方程)1(0yqypy的特征方程为02。qp)121，则实根特征方程有两个不同的xxeyey2121，是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为22122111。yCeCyCyCyx二阶常系数齐线性微分方程)1(0yqypy的特征方程为02。qp)221，则实重根特征方程有)1(11的一个解。是方程此时，xey042，qp由求根公式22422,1，pqpp021p由刘维尔公式求另一个解：xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111021pd11。xxexxe于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为)(2121111。xCCeexCeCyxxx二阶常系数齐线性微分方程)1(0yqypy的特征方程为02。qp3)特征方程有一对共轭复根：ii21，则，)i(2)i(121xxxxeeyeey，是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为)i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位i。欧拉公式：sinicosi。e)sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx)sini(cosi)i(1。xxeeeeyxxxx由线性方程解的性质：cos)(21211，xeyyyxsin)(i21212xeyyyx均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：0]sincos[。，xexeWxx故当特征方程有一对共轭复根ii21，时，原方程的通解可表示为)sincos(21。xCxCeyx二阶常系数齐线性微分方程0yqypy特征方程02。qp特征根通解形式)(21实根xxeCeCy2121)(21实重根)(211xCCeyx)(i2,1共轭复根)sincos(21xCxCeyx例解032的通解。求方程yyy0322，特征方程3121，，＝－特征根321。所求通解为xxeCeCy例解052的通解。求方程yyy0522，特征方程i21i2121，，特征根)2sin2cos(21。所求通解为xCxCeyx例解0dd2dd22满足初始条件的解：求方程ststs0122，特征方程121，特征根)(21。所求通解为tCCeyt2dd400。，tttss242dd42100，，得，由初始条件CCtsstt故所求特解为)24(。test例解的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为m此时弹簧仅受到弹性恢复力f的作用。求反映此弹O0时，的位移为当点xx突然放手，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为k）。O例解的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为m此时弹簧仅受到弹性恢复力f的作用。求反映此弹O0时，的位移为当点xx突然放手，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为k）。O0xx取x轴如如图所示。由力学的虎克定理，有。xkf（恢复力与运动方向相反）由牛顿第二定律，得dd22。xktxm2，则有移项，并记mka)0(0dd222。，axatx它能正确描述我们的问题吗？0，则有初始条件：t记拉长后，突然放手的时刻为00，初始位移xxt0dd0。初始速度ttx我们要找的规律是下列初值问题的解：0dd222，xatx00，xxt。0dd0ttx0dd222，xatx00，xxt。0dd0ttx022，特征方程ai2,1，特征根asincos21。所求通解为taCtaCy0100；，得由xCxxt00)cossin(dd220210。，得＝由CaCtaaCtaaCtxtt从而，所求运动规律为)(cos0。，mkataxx简谐振动二、n阶常系数齐线性微分方程形如)1(01)1(1)(ypypypynnnn)(常数。实为的方程，称为n阶常系数齐线性微分方程，,,1npp其中n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为单实根xCe1项实重根k)(121kkxxCxCCek项一对共轭复根)sincos(221xCxCex项0111nnnnpppi2,1重复根一对共轭ki2,12项kcos)[(121xxCxCCekkx]sin)(121xxDxDDkk特征根通解中的对应项例解0dd3dd3dd2233的通解。求方程xxyxyxy013323，特征方程1321，特征根)(2321。所求通解为xCxCCeyx例解在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程)0(0dd444。，x试求此方程的通解。044，特征方程i)1(2i)1(2432,1，－，特征根，所求通解为)2sin2cos(212xCxCeyx)2sin2cos(432。xCxCex2)(2222244三、二阶常系数非齐线性微分方程形如)2()(xfyqypy)(常数。实为的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，qp、其中它对应的齐方程为)1(0。yqypy我们只讨论函数f(x)的几种简单情形下，(2)的特解。常系数非齐线性微分方程算子解法参考书：《常微分方程讲义》王柔怀伍卓群编人民教育出版社)2()(xfyqypy)1(0。yqypy)()(.1的情形xPexfnx)(1110。其中nnnnnaxaxaxaxP方程(2)对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为02；特征方程qp21。，特征根单根二重根一对共轭复根你认为方程应该有什么样子的特解？假设方程)2()(xPeyqypynx有下列形式的特解：)(，xueyx则，ueueyxx22，ueueueyxxx代入方程(2)，得)(])()2([2，xPeuqpupuenxx即)3()()()2(2。xPuqpupun方程(3)的系数与方程(2)的特征根有关。)2()(xPeyqypynx)3()()()2(2。xPuqpupun)1(不是特征根，则若02，qp由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有)()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu)2()()(的特征根时，不是方程中的故当xPexfnx方程(2)有下列形式的特解:)(*。xQeynx)(xueyx)2(是单特征根，则若02，qp由多项式求导的特点可知，应有)()()(1110，nnnnnbxbxbxbxxQxxu)2()()(的单特征根时，是方程中的故当xPexfnx方程(2)有下列形式的特解:)(*。xQexynx)3(022为。此时，方程，即而pp)()2(。xPupun)2()(xPeyqypynx)3()()()2(2。xPuqpupun)(xueyx)3(是二重特征根，则若02，qp由多项式求导的特点可知，应有)()()(111022，nnnnnbxbxbxbxxQxxu)2()()(的二重特征根时，是方程中的故当xPexfnx方程(2)有下列形式的特解:)(*2。xQexynx)3(022为。此时，方程＝，即＝且pp)(。xPun)2()(xPeyqypynx)3()()()2(2。xPuqpupun)(xueyx定理1当二阶常系数非齐线性方程)2()(xfyqypy)()(时，的右端为xPexfnx它有下列形式的特解：)(*，xPexynxk其中：0；＝不是特征根时，取当k1；＝是单特征根时，取当k2。＝是二重特征根时，取当k:。可以为复数注意例解2。的通解求方程xxyy))()((20)(2xPexfnxxxfnx。，，对应的齐方程的特征方程为012，特征根为i2,1。对应的齐方程的通解为sincos21。xCxCy0，原方程有特解＝不是特征根，故取由于k*2120，bxbxby将它代入原方程，得2221200，xxbxbxbb比较两边同类项的系数，得10，b11，b0220，bb10，b11，b22，b故原方程有一特解为2*2。xxy综上所述，原方程的通解为2sincos*221。xxxCxCyyy例解32。的通解求方程xeyyy))()((01)(xPexfnexfnxx。，，对应的齐方程的特征方程为0322，特征根为1321。，对应的齐方程的通解为231。xxeCeCy1，原方程有特解＝是单特征根，故取由于k*0，bexyx将它代入原方程，得]3)1(2)2([000，xxeexbxbxb请同学们自己算上式即140，b410，b故原方程有一特解为41*。xexy综上所述，原方程的通解为41*231。xxxexeCeCyyy例解1332。的通解求方程xeyyyx1332xeyyyx32xeyyy1332xyyy41*1xexy31*2xy对应的齐方程的通解为231。xxeCeCy综上所述，原方程的通解为3141*231。xexeCeCyyyxxx)2()(xfyqypy)1(0。yqypysin)()(cos)()(.2的情形、xxPexfxxPexfnxnx)(111