几何概型--经典

几何概型[考纲传真]1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110.()(3)概率为0的事件一定是不可能事件．()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()3．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.3104．(2017·唐山检测)如图10­6­1所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图10­6­15．设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．与长度(角度)有关的几何概型(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34(2)如图10­6­2所示，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．图10­6­2（3）我校早上7：40开始上课，假设我校学生小张与小王在早上7：10～7：30之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____________。[规律方法]1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求P＝12.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．[变式训练1](1)(2017·唐山质检)设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径2倍的概率是()A.34B.12C.13D.35(2)(2016·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．（3）在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．（4）在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是()A.1225B.1625C.1725D.1825（5）某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，则此人等车时间不多于10分钟的概率为___________．（6）甲、乙两人相约在7点到8点间在某地会面.先到者要等候另一人20分钟，若另一人20分钟后仍不到即离去.如果每个人在一小时内的任何时刻到达的可能性是相同的，求两人能够会面的概率.（7）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14B.12C.34D.78与面积有关的几何概型☞角度1与随机模拟相关的几何概型(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn☞角度2与线性规划交汇问题由不等式组x≤0，y≥0，y－x－2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组x＋y≤1，x＋y≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.18B.14C.34D.78与体积有关的几何概型在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B.1－π12C.π6D.1－π6[规律方法]对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．[变式训练2]如图10­6­4，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M­ABCD的体积小于16的概率为________.图10­6­4[思想与方法]1．古典概型与几何概型的区别在于：前者基本事件的个数有限，后者基本事件的个数无限．2．判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．[易错与防范]1．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．2．准确把握几何概型的“测度”是解题关键．3．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．课后作业1、向数轴上的线段OA（A的坐标为3）上随机投一点，此点坐标小于1的概率为2、如图，已知(0,0),(30,0),(30,30),(0,30),(12,0),(30,18),(18,30),(0,12)OABCEFPQ在正方形OABC内任取一点，该点在阴影内的概率3、一轮船停靠在某一港口，只有在该港口涨潮时才能出港，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5：00—7：00和下午5：00—6：00，则该船在一昼夜内可以出港的概率为4、在区间0,10，任取一个数与6之和大于10的概率为5、在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，过点A作射线l交直角边BC于点M，则CAM30的概率是.6、有一圆盘被8等分，其中阴影部分被涂上红色，其余部分分别涂上其它颜色.游戏规则是投中红色区域中奖，投在原盘外，或线上重投，则中奖概率为7、现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为8、在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则所画弦的长度大于R的概率为9、在某集市上有一种游戏，向一个画满均匀方格的大桌子上投硬币，如果完全落入某个方格内，则掷硬币者赢得一个小猴玩偶，否则付20元.如果硬币的直径为2cm，而方格边长为5cm，求随机投掷一枚硬币刚好投进格子的概率为多大？10、两位同学到新华书店买数学参考书，他们约定在上午8：00到9：00之间，在某个车站汇合，他们约好当其中一个人先到后一定要等另一个人15分钟，若另一个人仍不到则离去.试问这两人能够相遇的概率为多大？