与圆相关的性质定理

圆复习1圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆的性质•圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。•圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。•圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。圆心角：C弦心距：从圆心到弦的距离。（如：OC）OAB弦：弧：顶点在圆心的角。（如：∠AOB）如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`。回顾：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`，OC与OC`之间的关系。定理：相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，OABCA'B'C'圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等，圆心角所对弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。题设结论在同圆或等圆中(前提)圆心角相等（条件）“知一推三”圆中常用辅助线：1）连接圆心和圆上一点成为半径2）过圆心作垂直与弦的弦心距或垂直的直径垂直于弦的直径及其推论想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。OCDABOCDAB观察右图，有什么等量关系？OBCDAE垂直于弦的直径AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC，弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC,AE＝BE。OBCDAE垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！OCDABOABE若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？2222adr变式1：AC、BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？OABCDOABCDFE变式3：EA＝____,EC=_____。FDFBOABCD变式4：______AC=BD.OA=OBOABCD变式5：______AC=BD.OC=OD•如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。MAPBO关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。题设结论①直线CD经过圆心O②直线CD垂直弦AB③直线CD平分弦AB④直线CD平分弧AB想一想：如果将题设和结论中的2个条件适当互换，情况会怎样？OBCDAE知二推二定理（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。OBCDAE如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？弧AE＝弧BF圆的两条平行弦所夹的弧相等。FOBAECD课后作业：•p7-p18.共19题（课上完成9道）