2006年山东高考理科数学试题

12006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）（1）定义集合运算：A⊙B},),(|{ByAzyxxyzz，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（A）0（B）6（C）12（D）18（2）函数)10(1aayx的反函数的图象大致是（A）（B）（C）（D）（3）设,2),1(log,2,2)(231xxxexfx则不等式8)(xf的解集为（A）（1，2）∪（3，+∞）（B）（10，+∞）（C）（1，2）∪（10，+∞）（D）（1，2）（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知,3A1,3ba，c=（A）1（B）2（C）3－1（D）3（5）设向量a=（1，－2），b=（－2，4），c=（－1，－2），若表示向量4a、4b－（A）（2，6）（B）（－2，6）（C）（2，－6）（D）（－2，－6）（6）已知定义在R上的奇函数)(xf满足)()2(xfxf，则)6(f的值为（A）－1（B）0（C）1（D）2（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（A）2（B）22（C）21（D）42（8）设02||1:,020:22xxqxxp，则p是q的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知集合}4,3,1{},2,1{},5{CBA，从这三个集合各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（A）33（B）34（C）35（D）36（10）已知nxx)1(3的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，其中13i，则2展开式中常数项是（A）－45i（B）45i（C）－45（D）45（11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件.112,932,22115xyxyx则yxz1010的最大值是（A）80（B）85（C）90（D）95（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上拆起，使A、B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为（A）2734（B）26（C）86（D）266（14）已知抛物线xy42,过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2221yy的最小值是.（15）如图，已知在正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等、D是则A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为.（16）下列四个命题中，真命题的序号有（写出所有真命题的序号），①将函数|1|xy的图象按相量v=（－1，0）平移，得到的图象对应的函数表达式为||xy②圆012422yxyx与直线xy21相交，所得弦长为2③若31)sin(,21)sin(，则5cottan④如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分（17）已知函数0)((sin)(2AxAxf，0，)20，且)(xfy的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（Ⅰ）求；（Ⅱ）计算)2008()2()1(fff.3（18）设函数),1ln()1()(xaaxxf其中a≥－1，求)(xf的单调区间.（19）（本小题满分12分）如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V—ABC的底面ABC，等边△AB1C所在平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90，设AC=2a，BC=a.（Ⅰ）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（Ⅱ）求点A到平面VBC的距离；（Ⅲ）求二面角A—VB—C的大小.（20）袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（Ⅲ）计分介于20分到40分之间的概率.（21）双曲线C与椭圆14822yx有相同的焦点，直线xy3为C的一条渐近线.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点P（0,4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当38,2121且QBQAPQ时，求Q点的坐标.（22）已知,21a点（),1nnaa在函数xxzf2)(2的图象上，其中n=1,2,3,….（Ⅰ）证明数列)}1{lg(na是等比数列；（Ⅱ）设)1()1)(1(21nnaaaT.，求nT及数列{na}的通项；（Ⅲ）记211nnnaab，求数列{nb}的前n项和Sn，并证明.1132nnTS41．D2．A3．C4．B5．D6．B7．B8．A9．A10．D11．C12．C13．214．3215．5416．③④17．（本小题满分12分）解：（I）).22cos(22)(sin2xAAxAy.420,,4,,222,222,1)22cos()2,1()().22cos(1)22cos(2222)(.4,2)22(21,0,2.2,222,0,2)(又点过的距离为其图象相邻两对称轴间又的最大值为ZkkZkkZkkxfyxxxfAAAAxfy（II）解法一：,4.20085024)2008()2()1(.50242008,4)(,41012)4()3()2()1(2sin1)22cos(1fffxfyffffxxy的周期为又解法二：)4(sin2)(2xxf,2)(sin2)2(sin2)4()2(,2)23(sin2)4(sin2)3()1(2222ffff.20085024)2008()2()1(.50242008,4)(.4)4()3()2()1(fffxfyffff的周期为又（18）（本小题满分12分）设函数)1ln()1()(xaaxxf，其中.1a求)(xf的单调区间.5解：由已知得函数)(xf的定义域为),1(，且)1(11)(axaxxf，（1）.),1()(,0)(,01上单调递减在函数由当xfxfa（2）当.1,0)(,0axxfa解得由时xxfxf随)(),(的变化情况如下表：x)1,1(aa1),1(a)(xf－0+)(xf极小值从上表可知.),1()(,0)(,),1(.)1,1()(,0)(,)1,1(上单调递增在函数时当上单调递减在函数时当axfxfaxaxfxfax综上所述：.),1()(,)1,1()(,0.),1()(,01上单调递增在函数上单调递减在函数时当上单调递减在函数时当axfaxfaxfa19．（本小题满分12分）解法一：（I）证明：∵平面A1B1C1∥平面ABC，∴B1C1∥BC，A1C1∥AC.∵BC⊥AC,∴B1C1⊥A1C1.又∵平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面AB1C，∴BC⊥AB1∴B1C1⊥AB1，又A1C1∩B1C1=C1B1C1∩AB1与A1C1=B1，∴B1C1为AB1与A1C1的公垂线.（II）解法1：过A作AD⊥B1C于D，∵△AB1C为正三角形∴D为B1C的中点，∵BC⊥平面AB1∴BC⊥AD，又B1C∩BC=C∴AD⊥平面VBC，∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离.在正△AB1C中，AD=23，AC=aa3223.∴点A到平面VBC的距离为a3.解法2：取AC中点O连结B1O，则B1O⊥平面ABC，且B1O=a3.由（I）知BC⊥B1C.设A到平面VBC的距离为x.∴CDBAABCBVV11即xCBBCOBACBC1121312131，解得ax3.即A到平面VBC的距离为a3.6（III）过D点作DH⊥VB于H，连AH，由三垂线定理知AH⊥VB∴∠AHD是二面角A—VB—C的平面角.在Rt△AHD中，DHBaAD1,3∽△B1BC，BBDBBCDH11，∴aBBBCDBDH5511，∴15arctantanDHADAHD.所以，二面角A—VB—C的大小为15arctan.解法二：取AC中点O连结B1O，易知B1O⊥平面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E.取O为空间直角坐标系的原点，OE，OC，OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直线坐标系.则A（0，－a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），B1（0，0，a3）.（I）),3,,0(),0,0,(1aaABaBC.//,,//,,,0)3,,0()0,0,(1111111111CAACACBCABCBBCCBABBCABBCaaaABBC由已知又∴BC⊥A1C1.而BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C1.又B1C1与AB1，A1C1显然相交，∴B1C1是AB1与A1C1的公垂线.（II）设平面VBC的一个法向量),,(zyxn，又)3,,0(1aaCB由0)3,,0(),,(0)0,0,(),,(1aazyxazyxCBnBCn取z=1得)1,3,0(n，点A到平面VBC的距离，即1AB在平面VBC的法向量n上的投影的绝对值.)3,,0(1aaAB，设所求距离为d，则.3232|||||||||,cos|||11111aanABnABABnABABd所以，A到平面VBC的距离为a3.7（III）设平面VAB的一个法向量),,(111zyxm，由020300111111ayaxaxayABmABmABmABm取)1,3,32(11mz，.41||||,cosnmnmnm∵二面角A—VB—C为锐角，所以，二面角A—VB—C的大小为41arccos.20．（本小题满分12分）解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则32)(310131313CCCCAP，解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，则31)(310182213CCCCBP（II）由题意，ξ有可能的取值为：2，3，4，5，.158)2(103)4(;152)3(301)2(31022181228310221812243102214122431022121222CCCCCPCCCCCPCCCCCPCCCCCP所以随机变量ξ的概率分布为ξ2345P301152103158因此ξ的数学期望为Eξ=2×301+3×152+4×103+5×158=313.（III）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则PCP)(（“ξ=3”或“ξ=4”）=P（“ξ=3”）+P（“ξ=4”）=.301310315221．（本小题满分12分）解（I）设双曲线方程为.12222byax由椭圆14822yx求得两焦点为（－2，0），（2，0）.8∴对于双曲线C：c=2.又xy3为双曲线C的一条渐近线.3ab解得3,122ba，∴双曲线C的方程为：1322