用三线摆测量转动惯量

图3-2-1三线摆实验装置示意图图3-2-2三线摆原理图用三线摆测量转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。一.实验目的1.学会正确测量长度、质量和时间。2.学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。二.实验仪器三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。三.实验原理图3-2-1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO‘轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。设下圆盘质量为0m，当它绕OO＇扭转的最大角位移为o时，圆盘的中心位置升高h，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有：ghmEP0（g为重力加速度）当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为0，重力势能被全部转变为动能，有：20021IEK式中0I是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO‘轴的转动惯量。如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：200021Ighm（3-2-1）设悬线长度为l，下圆盘悬线距圆心为R0，当下圆盘转过一角度0时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C1，如图3-2-2所示，则：12!21)()(BCBCBCBCBCBCh∵22222)()()()(rRACABBC∴102102sin4)cos1(2BCBCRrBCBCRrh在扭转角0很小，摆长l很长时，sin2200，而BC+BC12H，其中)cos2()()()(02222112121RrrRCABABCH=22)(rRl（H为上下两盘之间的垂直距离）则HRrh220（3-2-2）由于下盘的扭转角度0很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是tT002sin式中，是圆盘在时间t时的角位移，0是角振幅，0是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为：tTTdtd0002cos2经过平衡位置时t=0,......23,,21000的最大角速度为：0002T（3-2-3）将（3-2-2）、（3-2-3）式代入（3-2-1）式可得202004THgRrmI（3-2-4）实验时，测出0m、HrR、、及0T，由（3-2-4）式求出圆盘的转动惯量0I。在下盘上放上另一个质量为m，转动惯量为I（对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有22004)(THgRrmmII（3-2-5）从（3-2-5）减去（3-2-4）得到被测物体的转动惯量I为])[(4200202TmTmmHgRrI（3-2-6）在理论上，对于质量为m，内、外直径分别为d、D的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为)(81])2()2[(212222DdmDdmI。而对于质量为0m、直径为0D的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为200081DmI。四.实验内容测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量1.调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。2.等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间0t，重复测量5次求平均值0t，计算出下盘空载时的振动周期T0。3.将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。4.测出圆环质量（m）、内外直径（d、D）及仪器有关参量（HrRm和,,0等）。图3-2-3下盘悬点示意图因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3-2-3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于L/3。5.将实验数据填入下表中。先由（3-2-4）式推出0I的相对不确定度公式，算出0I的相对不确定度、绝对不确定度，并写出0I的测量结果。再由（3-2-6）式算出圆环对中心轴的转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。五.实验数据处理1.实验数据表格下盘质量0mg，圆环质量mg待测物体待测量测量次数平均值12345上盘半径R（m）下盘有效半径3LR（cm）周期0T0t/50（S）上、下盘垂直距离H（cm）圆环内径d（cm）外径D（cm）下盘加圆环周期Tt/50（S）2.根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为：下盘:__0I2cmg,___0I2cmg0I＝00II＝(±)2cmg圆环:__I＝2cmg,___I＝2cmgI＝)(II＝±（g.C2m）六.问题讨论1.在本实验中，计算转动惯量公式中的R0，是否就是下盘的半径?它的值应从何处测量到何处?2.2.当待测物体的转动惯量比下盘的转动惯量小得多时，为什么不宜用三线摆法测量?