搜索
科別：物理科組別：高中組作品名稱：毛細管內液體流速之探討及黏度測量方法之創新關鍵詞：毛細管、流速、黏度編號：0401171毛細管內液體流速之探討及黏度測量方法之創新壹、研究動機有一次上實驗課時看到鄰桌的同學正以實驗室的毛細管吸吮一瓶葡萄汁，每當他吞嚥時，毛細管內殘餘的葡萄汁竟然以近似等速的狀態降回果汁瓶裡，這似乎違背了重力加速度的常理，是毛細管的影響嗎？還是葡萄汁特有的現象？這與毛細管插入葡萄汁的深度有關嗎？後來在資優科學營中我選擇研究以毛細管測量液體黏度的實驗，並且在學校選修的專題課程中即以此為題目做長期的研究，毛細管中液體的流速真是固定的嗎？重力不會影響流速嗎？若流速真為固定的，如何控制或改變流速呢？是否可以利用流速來測出液體黏度呢？經過長期地研究及動手實驗改進，我們利用毛細管中液體的等速及不等速流動的特性，發展出了兩種既精簡又準確的液體黏度測量法，以下就是整個研究及創作的過程。貳、研究目的一、研究液體黏度對毛細管內液體流速的影響二、詳細討論目前實驗室中毛細管黏度測量法之優缺點三、研究在垂直毛細管中利用重力測量液體速度及黏度的方法四、發展自創的重力式傾斜旋轉的毛細管黏度計五、研究液體內微小深度差之壓力變化的測量法六、發展自創的連續可變液位差式毛細管黏度計參、研究器材一、自製完成的器材(一)、倾斜角度連續可調式毛細管支座(二)、重力式傾斜旋轉的毛細管黏度計(三)、微壓力變化的感測器之實驗設備2(四)、連續可變液位差式毛細管黏度計(五)、自動計時、溫度感測、液位差電壓顯示電路肆、文獻探討一、水平毛細管內之液體流速(一)、理想流體對於不可壓縮、不計黏性的理想流體而言，在水平置放的毛細管中連續流動特性，我們可以引用白努利方程(Bernoulli´sequation)來描述，即constvghP=++221ρρ(1)白努利定律可視為流體的機械能守恆定律。V1P2V2P1021=−=PPP∆(2)上式明確表示欲使理想流體在水平毛細管中維持穩定等速流動是不須壓力差的，正如同物體在光滑平面上等速直線運動是不須施加外力的，物體的機械能是守恆的。(二)、非理想流體真實的流體因為具有黏性，在流速不大的情況下會形成如上圖所示的層流，各薄層之間互相以剪應力τ作用，所以在層與層之間造成了速度梯度dzdv，dzdvητ−=(3)V1P2V2P1λZX波塞尼勒(Poiseuille)以研討血管內血液流動為目的，而專門致力於細3圓管內液體流速之研究，他在文獻中提出了下列關係式ηπ8421rPPQλ−=(4)水平細圓管中形成的穩定層流流體的平均流速為()λη8212PPrv−=(5)若欲維持固定的流速，則在流動方向上必須保持恆定不變的壓力梯度，即必須保持λ21PP−=非零的常數→v為等速度(6)必須施予物體一固定的水平力與摩擦力平衡以維持等速度運動的道理一樣，壓力差21PP−可視為驅策流體的動力，它也是流體因黏滯摩擦而造成的能量損失viscP∆。因此對於具有黏性的真實流體在水平細圓管中流動時，白努利定律可以和波塞尼勒定律合併為viscPvghPvghP∆ρρρρ+++=++222221112121(7)水平細圓管21hh=∴，21vv=，，再結合(5)式可得2218rvPPPviscλη∆=−=(8)(三)、雷諾數雷諾(Reynolds)曾經定義一個無因次的物理量RNηρνDNR=(9)其中D為圓管直徑，當RN小於2000時管中液體可以形成穩定層流。(四)、接口效應在容器或粗管與毛細管入口(或出口)接續時因管徑忽然變窄(或變寬)，流體的速度分佈必須進入管口一段距離才能逐漸穩定而形成層流，依參考資料(7)可知此段過度長度eL為ReNvDDL035.0035.0==ηρ(10)4由此式知eL與2D成比例，所以降低管徑就能有效降低此段非穩流的過度長度。(五)、以水平毛細管測量液體黏度48rπη=LPP21−Vt(11)二、毛細管測量液體黏度實驗的回顧與檢討(一)、實驗裝置(見附圖，照片略)(二)、實驗步驟(流程圖略)(三)、實驗結果與檢討分析1.流體流速和毛細管內徑有關，內徑若不均勻，流速將受極大的影響，在(11)式中內徑以4次方出現，若其誤差有2%，那麼對黏度測量將造成8%的誤差。2.待測液體在兩容器的出水管口因表面張力的影響，形成高出液面一段距離才忽然流入燒杯，然後液位又下降，又漲高..，這樣循環的結果使壓力差非常不穩定，管中水流根本無法穩定下來！不要忘記poiseille定理是在流速穩定的條件下推導而得，在毛細管中流速不斷波動下所測量得的實驗數據當然無法完全符合依據poiseille定理計算所得之理論值！這是本實驗結構性誤差的來源。一、鉛直毛細管內液體流速之探討我們假設毛細管內液體已發展成穩定的層流，且每一條流線上的流速是固定的，我們在液柱內考慮任意長λ、半徑為z的一小段液體圓柱，它與毛細管液柱是共軸心的。小圓柱受到向下的力大小為()()gzzPFλ221πρπ+=下(12)若液體是牛頓流體，剪應力為dzdvAFητ−==(13)小圓柱側表面受到黏滯阻力為()λzdzdvAπητ2−=(14)小圓柱受到向上的力大小為5()dzdvzzPFηππλ222−=上(15)既然已假設液柱是等速流動，故小圓柱的淨外力為零()02221=++−=−=∑dzdvzzgPPFFFxηππρλλ上下(16)令PPP∆=−21，化簡上式並將變數分離得[]zdzgPdvλληρ∆2+−=(17)分別積分上式左右項得()CzgPv++−=24λληρ∆(18)令rz=處0=v，可求得積分常數24rgPCλληρ∆+=(19)故由軸心()0=r至管壁()zr=的液體流速可表示為()224zrgPv−+=λληρ∆(20)上式是拋物線的數學形式，在液柱軸心處流速最大，為()2max04rgPvvzλληρ∆+===(21)由於液柱內是連續流體，每單位時間內通過管柱內任一橫截面的液體總體積是相同的，===tVdtdVQ常數現在我們考慮半徑為Z至dzZ+的環狀截面上的體積流動率dQ()()()()dzzzrgPdzzvdQπηρ∆π24222−+==λλ(22)將上式左右分別積分可得液柱橫截面的總體積流動率：()()dzzzrgPdQr∫∫−+=0322λληρ∆π(23)()λληρ∆π84gPrQ+=(24)若毛細管內液柱總長為L而P∆為毛細管液柱的總壓差即()LgLPrQηρ∆π84+=(25)大多數時候，我們較關心的是液柱的平均流速avv6avvrdtdVQ2π==(26)比較以上兩式可得毛細管內液體的平均流速為28rLgLPvavηρ∆+=(27)由此式可知平均流速為軸心最大流速之半，為方便計算，此後我們仍以符號v代表平均流速而捨avv不用。探討與歸納：1.若將毛細管平置，則液柱的重量在液體流動方向沒有分力，以上推導中(12)式的λgρ一項即可剔除，那麼LPrQη∆π84=(28)此即為在科學營實驗時所用的Hagen-Ppoiseuille方程式。而管內平均流速應為LPrvη82∆=(29)由上式可看出想要有穩定不變的流速，毛細管液柱必須有穩定不變的壓力差P∆才辦得到，這正是前述毛細管黏度實驗的重大致命傷及不易克服的困難。2.我們若能設法使垂直的毛細管中流動液柱兩端的壓力差為零，即0=∆P那麼由(25)式知液柱的平均流速變成ηρ82grv=(30)您注意到了嗎?對於固定的管徑及流體而言，上式右側各項皆為常數，如此v亦為常數，管中液體是以等速流動的！v竟然與L無關，即流速與管內尚有多長的液柱無關！太好了!這樣一來我們只須精確地測量液柱流速就可利用(30)式的關係求出液體黏度!再也不必費心於毛細管兩端的壓力差是否穩定了。3.我們可以將液體吸入毛細管至頂端後以拇指壓住頂部管口，毛細管底部則微微插入內盛相同液體之廣口淺盤的液面下，當拇指放開後由於液柱頂部及底部壓力皆近乎為大氣壓力，其壓差0≈∆P，故液體只在開始時有短暫之加速，瞬即進入等速流動狀態。4.毛細管內液柱因表面張力影響會有一段自然上升的高度y，當液柱由上而下流7至接近此高度時又會逐漸減速至零而停在該定點上。5.液柱流動最初的加速期及最末減速期目前都不是我們所關心的，因為這可以是另一個階段研究的題目，我們只要能精確地測出等速期間液柱的流速v（詳見實驗過程）就可以利用(30)式精準地算出液體的黏度η，此刻vgr82ρη=(31)6.當測量低黏度液體時，由於流速過快，我們可以將毛細管斜置，在斜置毛細管中液體平均流速為αηρsin82grv=(32)只要斜角α固定，那麼流速仍然為定值，而液體黏度則為αρηsin82vgr=(33)在實驗操作時只要逐漸減小傾斜角α就可以有效降低流速直到方便測量流速為止，如此一來低黏度液體亦能藉著測其流速而求出黏度了，酷...多麼簡單優美的測量方法!。哇塞!...酷...多麼簡單優美的測量方法!二、壓力差緩變下的水平毛細管流速在前述水平毛細管實驗中我們一直致力於調整兩定高容器的液位差並且力求此液位差的穩定而不可得，毛細管兩端壓力差仍然不停地無規則性地波動著，由於兩定高容器中的出水口的”滴流”狀況始終無法改善，使我們興起捨棄定高容器不用的念頭，我們重新思考新的做法，並且將系統簡化成如下圖的模式。上圖為半徑各為1R、2R的兩圓柱型容器，內盛裝待測液體，底部以長為λ，8內徑為r的水平毛細管互相連通，最初左端液位較右端高出()0h，由於毛細管中液體持續流動使得兩容器的液位差h隨著時間而漸小，所以我們可以將其寫成與時間有關的型式()()()ttthhhh21−==(34)若毛細管內徑遠小於兩容器之內徑，即r1R、r2R，由流體連續方程式可知兩容器中液體的流速將遠小於毛細管的流速，因此任取一段短時間來看兩容器的液面，沒有明顯的上升或下降，都是近乎靜止的，如此毛細管兩端的壓力可得自兩容器底部液體的靜壓力，即()()011PghPtt+=ρ，()()022PghPtt+=ρ式中0P為當時的大氣壓力，而在毛細管兩端將產生一項隨時間緩慢變化的壓力梯度()tG，由(34)式知λλ)()()(tttPghG∆==ρ(35)若毛細管半徑十分細小，其中液體流速v也甚小，使得其雷諾數能夠充分滿足ηρvrNR2=2000在這樣緩慢的流速(creeping)下，任一段短時間內毛細管兩端的平均壓力差及管內平均流速幾可視為定值)(4)(4)(88tttghrPrQρηπηπλλ=∆=(36)()()dtdhRdtdVQtt1211π−=−=(37)對(34)式微分可得左右兩容器液位差變動率()dtdht為()()()[]()()ttttthdtdhdtdhhdtddtdh2121−=−=(38)dtdhRRdtdh122212)(−=(39)將上式結果代入(38)式可得9()()dtdhRRRdtdhtt)(2221221+=(40)結合(36)(37)(40)三式可得()()()ttghLrdtdhRRRRρηππ842221221−=+(41)將上式變數分離得()()()()dtRRLRRgrhdhtt221222148ηρ+−=(42)為簡化問題，我們可以選用兩個完全相同的容器即RRR==21，我們使用積分公式Cunudu+=∫λ對上式積分，並且令()()00hht==可得()()tLRgrtehh2440ηρ−=(43)上式的意義為:當毛細管流速極緩慢時，左右容器的液位差()th將會由初液位差()0h開始隨著時間的增長呈現指數型衰減的情形，左容器液位逐漸降低而右容器的液位漸升，若rR的關係成立，那麼需要相當長(近忽無限長)的時間，兩容器的液位才會趨於一致。我們若將(43)左右同除)0(h，且兩邊同時取nλ函數，可求得待測液黏度為)0()(24/))(4(hhntLRgrtλρη−=(44)由於毛細管兩端的壓力差(上式之)(th)變化極為緩慢，完全不會有壓力差波動的問題產生，因此運用poiseille定律計算的理論與所測量之液體黏度可以十分吻合。我們只要在毛細管開始流通後，任意定一起始時間0=t，並紀錄當