参数的区间估计

概率统计（ZYH）8.3参数的区间估计四、非正态总体均值差的区间估计三、两个正态总体参数的区间估计二、非正态总体均值的区间估计一、一个正态总体参数的区间估计概率统计（ZYH）12,,,,,(0.1,0.05),nXXXX设是以为未知参数的总体是来自总体的样本如果对于小概率一般取为等存在统计量区间估计的定义1212ˆˆˆˆ,,,1.则称()是的称和分置信区别为和称为间置信下限置信上限置信（或置信水平）度12ˆˆ{}1P11122212ˆˆˆˆ(,,,)(,,,),nnXXXXXX和使区间估计的本质含义：1221ˆˆ1,,,1,ˆˆ以置信度保证所求的置信区间()（随机区间）包含真值（非随机数）这时置信度反映了区间估计的可靠性而置信区间的长度-则反映了区间估计的精度.概率统计（ZYH）一、一个正态总体参数的区间估计2212,,,~(,),,..3nXXXXNXS设是来自总体的样本分别是样本均值和样本方差则由7节的抽样分布知已知）（2,1这样我们就获得了的一个置信度为的置信区间/2/21PXuXunnU估计法~(0,1)/XUNn/2{||}1PUu,故对于给定的置信度1-有2/2/,unXunX22即1PXun{}1PUu,Xun概率统计（ZYH）包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假设例1~(0,1)/XUNn1得的置信度为的置信区间为解10,U因为已知故用估计法,由502.92,x10,0.95.X重量服从正态分布且标准差为试求糖包的平均重量的置信度为的置信区间附表32/2/,unXunX/20.025uu0.95代入可得的置信度为的置信区间为497.26,508.58（）1.960.05,=12,n将概率统计（ZYH）一个正态总体参数的区间估计表/2Xun(/)U法~(0,1)/XUNn/2||UuUu估计法抽样分布(()1-)GPG置信区间2(已知)待估参数()双侧()单侧()单侧Uu(,/)XunT法~(1)/XTtnSn()双侧()单侧()单侧2法2222/21/2(1)(1)(,)nSnS2221/2/2/2||TtTtTt2222(1)~(1)nSn22((1)/,)nSXun(/,+)/2XStn(/)(,/)XStnXStn(/,+)221(0,(1)/)nS2202212()单侧2()单侧2()双侧2(未知)1（置信度为）概率统计（ZYH）包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假设例1续~(0,1)/XUNn1得的置信度为的置信区间为解10,U因为已知故用估计法,由502.92,x10,0.95.重量X服从正态分布且标准差为试求糖包的平均重量的置信度为的置信区间2/2/,unXunX02502./uu0.95代入可得的置信度为的置信区间为497.26,508.58（）1.960.05,=12,n将,T未已知故用~(1)/XTtnSn/2/2,SSXtXtnn/20.025(11)tt502.927.94（）2.201,12.50S附表3附表4概率统计（ZYH）从某批灯泡中抽取5只做寿命试验,其寿命(单位:小时)为1050,1100,1120,1250,1280.设寿命服从正态分布,求例21的置信度为的单侧置信区间为1得的置信度为的单侧置信下限为解,T因为未知故用估计法,由1160,x0.95.其均值的置信度为的置信下限附表40.95代入可得的置信度为的单侧置信下限为0.05,5,n将~(1)/XTtnSnSXtn0.05(4)tt10652.13299.75S，SXtn，(小时).概率统计（ZYH）2,48.34%,0.03%,~(,),,0.95.xsXN2为确定某种溶液的甲醛浓度取样得个独立测定值的平均值样本标准差设被测总体求参数及的置信度为的置信区间例3/2/2(,)8.292%,8.388%XStnXStn//（）解8.34%,0.03%,4,0.05xsn再由查表可知0.95T故由法知的置信度为的置信区间为2222/20.025/20.0251/20.975=(3)=3.182,=(3)=9.35,=(3)=0.216tt0.9522而由法知的置信度为的置信区间为0.95从而得的置信度为的置信区间为2222/21/2(1)(1)0.000290.0125(,)(,)1000010000nSnS(0.00029/10000,0.0125/10000)(0.017%,0.112%)概率统计（ZYH）二、非正态总体均值的区间估计212,,,,,,nXXXXEXDX如果是来自总体的样本但总体不服从正态分布,则由中心极限定理知~(0,1)()/XUNnn近似当较大时,Un故对大样本(较大)仍可用,这时置估计法信区间仍为22,SM2如果未知则可用样本方差或样本二阶中心距代替./2Xun(/)(,/)Xun或Xun或(/,+)解0.05100,5,1,==1.96UnxSuu用估计法,将代入0.95可得的置信度为的置信区间为1005,1,0.95.4X设来自总体的容量为的样本均值为样本方差为求总体均值的置信度为的置信区间例(4.804,5.196)./2Xun(/)概率统计（ZYH）三、两个正态总体参数的区间估计nnXXXYYYXNYNXYSS21212112222212,,,,,,~(,)~(,),,,,..3设样本和是来自总体和并且相互独立,它们的样本均值分别为样本方差分别为则由7节的抽样分布知12()~(0,1),XYUN1212()~(2)XYTtnnQ2212（=时）nSnSQnnnn2211221212(1)(1))11(2)其中221122nn其中2212122221~(1,1)SFFnnS与构造一个正态总体估计法的过程类似，由这三个抽样分布出发，我们可构造两个正态总体均值差和方差比的区间估计法。概率统计（ZYH）两个正态总体参数的区间估计表U法12()~(0,1)XYUN/2||Uu/2XYu()Uu估计法抽样分布()1-P置信区间Uu(,)XYuT法1212()~(2)XYTtnnQF法2211222/221/2(,)SSSFSF1FFF/2||TtTtTt22121(0,/())SSFXYu(,+)/2XYQt()(,)XYQtXYQt(,+)0FF1FF2122(=未知)nSnSQnnnn2211221212(1)(1))11(2)221122nn其中21,22(已知)12估计2122估计2212(/(),+)SSF2212122221~(1,1)SFFnnS12估计1（置信度为）概率统计（ZYH）2211222222121212,4,5,:0.143,0.142,0.143,0.1380.140,0.142,0.136,0.140,0.138~(,)~(,),()90%.XNYN两批导线从第一批中抽取根从第二批中抽取根测得它们的电阻(单位欧)如下：第一批：第二批：设两批电阻分别服从正态分布和求两批电阻均值差假设和方差比的置信度为的置信区间例526114,0.1415,5.6710,nxs解由已给的样本观测值计算可知nSnSQnnnn2211221212(1)(1))11(2)31.5591026225,0.1392,5.2010nys61135.6745.2045(452)10概率统计（ZYH）解由已给的样本观测值计算可知1-0.900.10,由置信度知查分布表得/20.05(452)1.895,tt26114,0.1415,5.6710,nxsnSnSQnnnn2211221212(1)(1))11(2)31.5591026225,0.1392,5.2010nys61135.6745.2045(452)10/20.05(3,4)6.59,FF1/20.950.0511(3,4)(4,3)9.12FFF33/2()(0.6510,5.2510)xyQt190%T2故由法知两批导线电阻均值差-的置信度为的置信区间为2212F而由法知两批导线电阻方差比的置信度为90%的置信区间为2211222/221/2,(0.165,9.944)SSSFSF概率统计（ZYH）四、非正态总体均值差的区间估计12nn当和较大时11,,nnU故对大样本(和较大)仍可用这时置信估计法区间仍为22221212,,,SS如果未知则可用样本方差或样本二阶中心距代替.1212221122,,,,,,,,,,,,nnXXXYYYXYEXDXEYDY如果和分别是来自非正态总体和的样本则由中心极限定理知12()~(0,1)XYUN近似221122nn其中/2/2(,)XYuXYu(,)XYu或(,)XYu或概率统计（ZYH）从某地区随机地抽取男女各100名,以估计男女平均高度之差.测量并计算得男子的平均高度为1.71m,样本标准差为0.035m,女子的平均高度为1.67m,样本标准差为0.038m.试求男女高度之差的置信度为95%的置信区间．例612100,nnU由于为大样本故用估计法解置信区间为221122nn其中/2/2(,),XYuXYu111100,1.71,0.035,nxs将222100,1.67,0.038nys22(0.0350.038)1000.00517221122nn代入得0.05再由查表知/20.0251.96uu(0.0299,0.0501)代入得所求置信区间为