简单曲线的极坐标方程练习题有答案

简单曲线的极坐标方程1.在极坐标系中，求出满足下列条件的圆的极坐标方程圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)半径为rρ＝r(0≤θ2π)圆心在点(r，0)半径为rρ＝2rcos_θ(－π2≤θπ2)圆心在点(r，π2)半径为rρ＝2rsin_θ(0≤θπ)圆心在点(r，π)半径为rρ＝－2rcos_θ(π2≤θ3π2)圆心在点(r，3π2)半径为rρ＝－2rsin_θ(－πθ≤0)圆心C(ρ0，θ0)，半径为rρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.2.在极坐标系中，求出满足下列条件的直线的极坐标方程3.将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为α(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a，0)，且与极轴垂直ρcos_θ＝a－π2θπ2过点a，π2，且与极轴平行ρsin_θ＝a(0θπ)过点(a，0)倾斜角为αρsin(α－θ)＝asinα(0θπ)过点P(ρ0，θ0)，倾斜角为αρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．①x＋y＝0；②x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判定曲线形状：①ρcosθ＝2；②ρ＝2cosθ；③ρ2cos2θ＝2；④ρ＝11－cosθ.[思路点拨](1)先把公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线(含直线)的直角坐标方程，再化简．(2)先利用公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2代入曲线的极坐标方程，再化简．[解](1)①将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋y＝0得ρcosθ＋ρsinθ＝0，即ρ(sinθ＋cosθ)＝0，∴tanθ＝－1，θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)，∴直线x＋y＝0的极坐标方程为θ＝3π4(ρ≥0)和θ＝7π4(ρ≥0)．②将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＋2ax＝0得ρ2＋2aρcosθ＝0，∴ρ＝0或ρ＝－2acosθ.又ρ＝0表示极点，而极点在圆ρ＝－2acosθ上∴所求极坐标方程为ρ＝－2acosθ(2)①∵ρcosθ＝2，∴x＝2，即直线ρcosθ＝2的直角坐标方程为x＝2，它表示过点(2，0)且垂直于x轴的直线，②∵ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x.∴(x－1)2＋y2＝1，即ρ＝2cosθ的直角坐标方程．它表示圆心为(1，0)，半径为1的圆．③∵ρ2cos2θ＝2，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝2，即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝2，∴x2－y2＝2，故曲线是中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线．④∵ρ＝11－cosθ，∴ρ＝1＋ρcosθ，∴x2＋y2＝1＋x，两边平方并整理得y2＝2x＋12，故曲线是顶点为－12，0，焦点为F(0，0)，准线方程为x＝－1的抛物线．4.曲线x2＋y2＝2x2＋y2的极坐标方程是____________．解析：∵x2＋y2＝ρ2，ρ≥0，∴ρ＝x2＋y2，∴x2＋y2＝2x2＋y2可化为ρ2＝2ρ，即ρ(ρ－2)＝0.答案：ρ(ρ－2)＝05.曲线ρsinθ－π4＝0的直角坐标方程是______________．解析：∵ρsinθ－π4＝0，∴22ρsinθ－22ρcosθ＝0，∴ρsinθ－ρcosθ＝0，即x－y＝0.答案：x－y＝06.圆ρ＝5cosθ－53sinθ的圆心坐标是()A.5，－2π3B.5，2π3C.5，π3D.5，5π3解析：选D.∵ρ＝5cosθ－53sinθ，∴ρ2＝5ρcosθ－53ρsinθ，∴x2＋y2＝5x－53y，∴x－522＋y＋5322＝25，∴圆心C52，－532，ρ＝254＋754＝5，tanθ＝yx＝－3，θ＝5π3∴圆心C的极坐标为C5，5π3.7.极坐标方程ρ＝cos(π4－θ)表示的曲线是()A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆解析：选D.∵ρ＝cosπ4－θ，即ρ＝22(cosθ＋sinθ)，∴ρ2＝22(ρcosθ＋ρsinθ)，∴x2＋y2＝22x＋22y，即x－242＋y－242＝14.8.曲线的极坐标方程为ρ＝tanθ·1cosθ，则曲线的直角坐标方程为__________．解析：∵ρ＝tanθ·1cosθ，∴ρcos2θ＝sinθ，∴ρ2cos2θ＝ρsinθ，∴x2＝y.答案：x2＝y9.直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．[解析](1)由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得直线2ρcosθ＝1的直角坐标方程为2x＝1，圆ρ＝2cosθ⇒ρ2＝2ρcosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0⇒(x－1)2＋y2＝1，由于圆心(1，0)到直线的距离为1－12＝12，所以弦长为21－122＝3.10.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为4，π3，则|CP|＝________．(2)由圆的极坐标方程ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，所以(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2，0)，半径r＝|OC|＝2，如图，在△OCP中，∠POC＝π3，|OP|＝4.由余弦定理，得|PC|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP||OC|·cos∠POC＝42＋22－2×4×2cosπ3＝12，所以|PC|＝23.[答案](1)3(2)2311.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[解](1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.