课堂新坐标2016-2017学年高中数学4.2曲线的极坐标方程4直线和圆的极坐标方程学业分层测评

1【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学4.2曲线的极坐标方程4直线和圆的极坐标方程学业分层测评苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线y＝3x(x≤0)；(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．【解】(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y＝3x，得ρsinθ＝3ρcosθ，∴tanθ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x≤0，∴ρcosθ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y＝3x(x≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)．(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＋2ax＝0，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0，即ρ(ρ＋2acosθ)＝0，∴ρ＝－2acosθ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2acosθ.2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)ρ＝5cosθ；(2)ρ2＝tanθ.【解】(1)由ρcosθ＝5，得x＝5.(2)x2＋y2＝yx(x≠0)，即x(x2＋y2)－y＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tanθ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x2＋y2)－y＝0.3．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于A，B两点．(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度．【导学号：98990011】2【解】(1)曲线C2：θ＝π4(ρ∈R)表示直线y＝x；曲线C1：ρ＝6cosθ化为直角坐标方程，即x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.(2)因为圆心C1(3,0)到直线的距离d＝322，r＝3，所以弦长AB＝32.4．求点A2，π3到直线l：ρsinθ－π6＝－2的距离．【解】A(2，π3)的直角坐标为(1，3)，l：ρsin(θ－π6)＝－2，ρ(32sinθ－12cosθ)＝－2.即：x－3y－4＝0.故A(1，3)到l：x－3y－4＝0的距离为|1－3－4|12＋32＝3.5．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解】(1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cosθ＋32sinθ)＝1，即x＋3y＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N(233，π2)．(2)∵M的直角坐标为(2,0)，N的直角坐标为(0，233)．∴P的直角坐标为(1，33)，P的极坐标为(233，π6)．所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．6．在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹方程．【解】以圆心O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)．3因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP.即12·3·ρ·sinθ＋12·1·ρ·sinθ＝12·3·1·sin2θ.整理得：ρ＝32cosθ.7．在极坐标系中，圆C：ρ＝10cosθ和直线l：3ρcosθ－4ρsinθ－30＝0相交于A、B两点，求线段AB的长．【解】分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5,0)；直线l：3x－4y－30＝0，因为圆心C到直线l的距离d＝|15－0－30|5＝3，所以AB＝225－d2＝8.能力提升]8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－π6上的动点，试求PQ的最大值．【解】∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cosθcosπ6＋sinθsinπ6)，∴x2＋y2－63x－6y＝0，∴(x－33)2＋(y－3)2＝36.∴PQ的最大值为6＋6＋32＋32＝18.