两招极值点偏移问题一、极值点偏移的含义众所周知,函数)(xf满足定义域内任意自变量x都有)2()(xmfxf,则函数)(xf关于直线mx对称;可以理解为函数)(xf在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若)(xf为单峰函数,则mx必为)(xf的极值点.如二次函数)(xf的顶点就是极值点0x,若cxf)(的两根的中点为221xx,则刚好有0212xxx,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏移.若相等变为不等,则为极值点偏移:若单峰函数)(xf的极值点为m,且函数)(xf满足定义域内mx左侧的任意自变量x都有)2()(xmfxf或)2()(xmfxf,则函数)(xf极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数)(xf定义域内任意不同的实数21,xx满足)()(21xfxf,则221xx与极值点m必有确定的大小关系:若221xxm,则称为极值点左偏;若221xxm,则称为极值点右偏.如函数xexxg)(的极值点10x刚好在方程cxg)(的两根中点221xx的左边,我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式:1.若函数)(xf存在两个零点21,xx且21xx,求证:0212xxx(0x为函数)(xf的极值点);2.若函数)(xf中存在21,xx且21xx满足)()(21xfxf,求证:0212xxx(0x为函数)(xf的极值点);3.若函数)(xf存在两个零点21,xx且21xx,令2210xxx,求证:0)('0xf;4.若函数)(xf中存在21,xx且21xx满足)()(21xfxf,令2210xxx,求证:0)('0xf.二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述:(1)求出函数)(xf的极值点0x;(2)构造一元差函数)()()(00xxfxxfxF;(3)确定函数)(xF的单调性;(4)结合0)0(F,判断)(xF的符号,从而确定)(0xxf、)(0xxf的大小关系.口诀:极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板:若已知函数)(xf满足)()(21xfxf,0x为函数)(xf的极值点,求证:0212xxx.(1)讨论函数)(xf的单调性并求出)(xf的极值点0x;假设此处)(xf在),(0x上单调递减,在),(0x上单调递增.(2)构造)()()(00xxfxxfxF;注:此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0xxfxfxF的形式.(3)通过求导)('xF讨论)(xF的单调性,判断出)(xF在某段区间上的正负,并得出)(0xxf与)(0xxf的大小关系;假设此处)(xF在),0(上单调递增,那么我们便可得出0)()()()(000xfxfxFxF,从而得到:0xx时,)()(00xxfxxf.(4)不妨设201xxx,通过)(xf的单调性,)()(21xfxf,)(0xxf与)(0xxf的大小关系得出结论;接上述情况,由于0xx时,)()(00xxfxxf且201xxx,)()(21xfxf,故)2()]([)]([)()(2002002021xxfxxxfxxxfxfxf,又因为01xx,0202xxx且)(xf在),(0x上单调递减,从而得到2012xxx,从而0212xxx得证.(5)若要证明0)2('21xxf,还需进一步讨论221xx与0x的大小,得出221xx所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.此处只需继续证明:因为0212xxx,故0212xxx,由于)(xf在),(0x上单调递减,故0)2('21xxf.【说明】(1)此类试题由于思路固定,所以通常情况下求导比较复杂,计算时须细心;(2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求)(xf的单调性、极值点,证明)(0xxf与)(0xxf(或)(xf与)2(0xxf)的大小关系;若试题难度较大,则直接给出形如0212xxx或0)2('21xxf的结论,让你给予证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.【例题讲解】【例1】已知函数)()(Rxxexfx.(1)求函数)(xf的单调区间和极值;(2)若21xx,且)()(21xfxf,证明:221xx.【解析】容易求得第(1)问:()fx在,1上单调递增,在1,上单调递减,()fx的极值是1(1)fe。第(2)问:构造函数21111(1)(1)''(1)'(1)0xxxxeFxfxfxFxfxfxxeexe所以Fx在R上单增,容易看出(0)0F(找的就是它,构造的目的就是为了得到(1)(1)Fxfxfx是正是负)所以,当x0时,0(1)(1)Fxfxfx12xx,不妨设12xx,由(1)知121xx,12222()()1111(2)fxfxfxfxfx∵12x,∴122x,)(xf在)1,(上单调递增,∴212xx,∴221xx.原命题得证。一定得构造(1)(1)Fxfxfx?答:不。构造()(2)Fxfxfx也行。证明如下:22222()(2)''()'(2)110xxxxeeeeFxfxfxFxfxfxxxee所以()Fx单增,()(2)(1)0()(2)FxfxfxFfxfx12xx,不妨设12xx,由(1)知121xx,222xx1221212()()(2)22fxfxfxxxxx原命题得证。可否构造其他的?答:可以,()()2Fxfaxfbxab这里的“2”是极值点的两倍。那答案为什么不给出其他的构造呢?因为那样很繁琐,也破坏了数学的对称美。其中这种(1)(1)Fxfxfx构造的美感最强。【例2】函数xaexxxf12)(2有两极值点21,xx,且21xx.证明:421xx.【解析】令()'()22xgxfxxae,则12,xx是函数()gx的两个零点。令210xxgxae,令122124(),'()xxxxhxhxhxahxee易得()hx在区间,2单调减,2,单调增,所以122xx,令22222242222''2'2xxxxxxxeexeeHxhxhxHxhxhxeee当02x时,'()0,()HxHx单调递减,有()(0)0HxH所以)2()2(xhxh,所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221xhxhxhxhxh,因为21x,242x,)(xh在)2,(上单调递减所以214xx,即421xx.【例3】已知函数2()lnfxxx,若1x2x,且)()(21xfxf,证明:421xx.【解析】由函数2()lnfxxx单调性可知:若)()(21xfxf,则必有1202xx。所以241x,而)4ln(42ln2)4()(111111xxxxxfxf,令)4ln(ln422)(xxxxxh,则0)4()2(8)4()4()4(2)4(2411)4(22)('22222222222xxxxxxxxxxxxxxxxh所以函数)(xh在)2,0(为减函数,所以0)2()(hxh,所以0)4()(11xfxf即)4()(11xfxf,所以)4()(22xfxf,所以421xx.【例4】已知函数221xfxxeax有两个零点.设12,xx是fx的两个零点,证明:122xx.【解析】不妨设12xx,由题意知12()()0fxfx,要证不等式成立,只需证明当121xx成立即可。(这里的1是极值点,求导可得)令11()(1)(1)'()'(1)'(1)xxFxfxfxFxfxfxxee当0x时,'00011FxFxFfxfx,令11xx,则2111111112fxfxfxfxfx21,21,xx,且fx在1,上递增,则211222xxxx.【例5】已知函数2lnfxxax,其中aR(1)若函数fx有两个零点,求a的取值范围;(2)若函数fx有极大值为12,且方程fxm的两根为12,xx,且12xx,证明:124xxa.【解析】有a不怕,能算出来的。(1)2112'20axfxaxxxx(1)当0a时,0fx函数fx在0,上单调递增,不可能有两个零点(2)当0a时,10,2fxxax10,2a12a1,2afx0-fx极大值fx的极大值为111ln222faa,由11ln022a得102ae;因为22ln0aaaafeeaeaae,所以fx在1,2aea必存在一个零点;显然当x时,0fx,所以fx在1,2a上必存在一个零点;所以当102ae时,函数fx有两零点.(2)由(1)可知。当0a时,fx的极大值为11111ln22222faaa.令112'''222FxfxfxFxfxfxxx,由'01Fxx12111111221121022xxFxfxfxFfxfxfxfxfxfx又因为fx在1,上单调递减,所以121222xxxx,原命题得证.【例8】已知函数),0()(Rbabeaxxfx,若任意不同的实数21,xx满足)()(21xfxf,求证:axxln221.【解析】消参数2121221ln,2ln2lnxxaxxxaxax因为函数fx在ln,a上为减函数,所以原式212lnfxfax1211112ln2ln0,fxfxfxfaxfxfax构造函数2ln,,lngtftfatta,则2ln1'''2ln22,,lntatttgtftfataeaeaeetaa,则由均值不等式显然可得12ttaeea(当且仅当lnta时取等号),'0gtgt在,lna为减函数,则()ln0gtga,得证.题型二利用对数平均不等式两个正数a和b的对数平均定义:(),(,)lnln().ababLababaab对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:(,)2ababLab(此式记为对数平均不等式)取等条件:当且仅当ab时,等号成立.只证:当ab时,(,)2ababLab.不失一般性,可设ab.证明如下:(I)先证:(,)abLab……[不等式