常见数列通项求法

递推数列求通项公式前言数列是高中知识的难点之一，每年高考的必考内容。自2010年新课改之后，数列问题难度有所降低。全国卷里数列，一般出现在17大题的位置，主要考察数列的通项以及前n项和相关问题，难度中等偏上。数列通项作为数列里的核心内容之一，是解决后续问题的关键。本课件讲述递推数列求通项常见方法，基本可以解决90%的数列通项问题。希望同学们能认真掌握下来。策略一览①公式法②累加法、累积法④利用和的关系⑤构造法⑥迭代法、两边取对数法⑦两边取倒数法nans类型一：公式法(等差、等比数列)1、等差数列2、等比数列例.｛an｝的前n项和Sn=2n2－1，求通项an类型二：利用an与Sn的关系解：当n=1时,a1=1当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遗漏n=1的情形哦！因此an=1(n=1)4n－2(n≥2,)*nN11,1,2nnnSnaSSn因为4*1-2≠1,不满足上式例：已知{an}中，a1+2a2+3a3+•••+nan=3n+1,求通项an∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1注意n的范围∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=（n≥2）∵两式相减得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）*nN解：当n=1时,a1=99132例：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n(n≥2),求通项an.练：111311,3(2)2nnnnnaaaanan已知中,证明：11223343221123.......32nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa解：以上各式相加n1a(234)(n+2)(n-1)=1+2an得类型三：累加法，形如例：12,3,.nnnnnaaaaa1已知中，求通项练习：122,2,.nnnnaaaaan1已知中，求通项1111234123123423221(-1)2321123(-1)21(-1)2333,3,3,33,3-133333=23=2323解：，，将这个式子相乘得：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaanaaa类型四：累乘法，形如例：111,21.nnnnaaaaa数列满足,求11-11112112112(1)121112+1112221解：是以为首项，为公比的等比数列nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa12,3+2,.1练习:已知中，求通项nnnnaaaaa11()()1nnnnaqaddatqattq对于型数列，可用构造法转化为类型五、构造法形如1nnaqad形如1111111*23,12[(1)],22363,20,6,23(1)636,10102525236,nnnnnnnnnnnnnnnnaanaaCnDaCnDCDaaCnCDanCCDDanbanbbbannN使用待定系数法是常数所以令且易知显然是等比数列,1nnakabn通项公式求例：nnnaanaa,1,32111nnaqad142(2,3,4,)nnnaan思路鉴赏：解法一（构造1）142nnnaa112122nnnnaa1112(1)22nnnnaa法二（构造2）1124(2)nnnnaa142nnnaa形如1nnnakab例：已知数列中，，求数列通项公式nanannnaaa24,211练习：1113,33,nnnnaaaaan数列满足:求通项公式.1111133133133-11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）1()knnaAak为常数法（1）：迭代法11211211111111lg2()()*22(),2,0lg()lg,2lglg,lg1,lg,lg2lg211,lg2(),lglg2(),22102,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabababbaanN两边取对数,有根据对数的性质有令易知是等比数列因此11212118134122112nnaaaaannnn类型六、形如11211211111111lg2()()*22(),2,0lg()lg,2lglg,lg1,lg,lg2lg211,lg2(),lglg2(),22102,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabababbaanN两边取对数,有根据对数的性质有令易知是等比数列因此法（2）：两边取对数例8：111,,21nnnnnaaaaaa数列满足:求通项公式类型七、取倒数法形如1nnnpaaqap111n11n12111221a112aannnnnnaaaaaa解：是以为首项，以为公差的等差数列1111(1)22-12-1nnnnaaan类型八、相除法形如11nnnnaapaa例：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求11111112211-211545-1(-2)-222245nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）通项公式求法类型方法等差、等比公式法已知Sn或Sn与an关系通用公式法形如累加法形如累乘法形如待定系数法形如取对数法)(1nfaann)(1nfaanndkaann1dnkaann1nnnbkaa11nnkaadpakaannn11形如取倒数法构造辅助数列1：1215,,,2,6103-311(1);2(2)(3).nnnnnnaanNnaxaxaanS设数列若对任意的二次方程都有根、，且满足求证：是等比数列求通项；求前项和课后练习2：11,3,2(2)1.nnnnnnaaaSSnSa已知求证：是等差数列，并求公差；求的通项公式24,1,3,.nnnaaaaaan+2n+1123.在中，a且求后记根据历年高考数列部分的命题总结出以上数列通项公式求法。在实际做题中，这些通法互相配合使用。做题时注意观察题目，看清要证明什么，属于哪种类型，选择适当的方法解决问题。