关于连续与一致连续

关于连续与一致连续连续与一致连续是数学分析中非常基础也是非常重要的概念。这两个概念来自于实际问题、现实世界。我们经常观察到的一些自然现象有一些共同特性：例如气温的变化，生产的连续进行，生物的连续生长等等，反映出来的是事物连续不断地进行的过程。如果用函数来刻画，即研究函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是连续函数。一﹑连续与一致连续的定义，二者的区别定义1若函数在0x点附近0()Ux有定义，并且00lim()()xxfxfx时，我们称()fx在0x点连续,或者称0x点是()fx的连续点.定义1若函数在0x点附近0()Ux有定义，若,00(,)0x只要0()xUx：0||xx，都有0|()()|fxfx，则称)(xf在区间0x处连续。定义2函数)(xf在区间I的每一点都连续，则称)(xf在区间I内连续。定义3设函数)(xf在区间I上有定义，若,00)(只要',''xxI：|'''|xx，都有|(')('')|fxfx，则称)(xf在区间I上一致连续.注：函数)(xf在某区间内的连续性只反映函数在区间内每一点附近的局部性质；函数)(xf在某区间内一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，是反映函数在区间上更强的连续性。直观地说，)(xf在区间I一致连续意味着：不论两点',''xx在I中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使|(')('')|fxfx.显然)(xf必然在I上每一点连续。按照一致连续的定义，)(xf在区间I不一致连续意味着：对于某个00对任何的0（无论多么小），总存在两点',''xxI尽管|'''|xx，但却有0|(')('')|fxfx.在连续定义中存在的不仅与0有关，还与x的位置有关，如果能做到只与有关即能找到适合I上所有点的公共0)(，则)(xf在I上每点连续，且一致连续；否则)(xf在I上每点连续，但不一致连续。一般说来对I上无穷多个点，存在无穷多个，这无穷多个的下确界可能为零，也可能大于零。如果这无穷多个的下确界为零，则不存在适合I上所有点的公共0)(，这种情况)(xf在I上连续，但不一致连续；如果这无穷多个的下确界大于零，则必存在对I上每一点都适用的公共0)(，比如我们可取min，则对I上任意两点xx,，只要||xx时，便有|)()(|xfxf.这种情况，)(xf在I上不仅逐点连续，而且是一致连续例1证明axysin在),(内一致连续。证明(''')(''')|sin'sin''|2|sincos|22xxxxxx(''')2|sin||||'''|2xxxx0，取||a，',''(,)xx满足|'''|xx，就有：(')('')|fxfx.所以axysin在),(内一致连续.例2证明xy1在(,1)a内一致连续，但在)1,0(内不一致连续。（(0,1)a）证明xy1在(,1)a内一致连续：212121212||111||||xxxxxxxxa0，取2a，12,(,1)xxa满足：12||xx，就有：|)()(|21xfxf.所以xy1在(,1)a内一致连续。但xy1在)1,0(内不一致连续。事实上，取10,0，都存在两点(1)(2)11,2nnxxnn，尽管(1)(2)1||,(1)2nnxxnn，但(1)(2)1121nnnnnxx.所以，xy1在)1,0(内不一致连续。二﹑在闭区间上连续与一致连续二者的关系在闭区间上连续与一致连续是一回事定理1（Cantor定理）函数()fx在,ab上一致连续的充分必要条件是()fx在,ab上连续。三﹑在有限非闭区间上连续与一致连续二者的关系在有限非闭区间上连续与一致连续有下面的关系：定理2函数()fx在(,)ab上一致连续的充分必要条件()fx是在(,)ab上连续且()fa与()fb都存在。证明：先证充分性：构造辅助函数()()()(,)()faxaFxfxxabfbxb，显然，()Fx在,ab上连续.由Cantor定理，()Fx在,ab上一致连续，∴()Fx在(,)ab上一致连续，即()fx在(,)ab上一致连续.再证必要性：()fx在(,)ab上连续显然。下证()fa与()fb都存在。|1/x1–1/x2|x1x2y=1/x在()fx上(,)ab一致连续，∴0,0,',''(,)xxab且|'''|xx，有|(')('')|fxfx成立.现对0ba，取12',''(,)xxxxaa，则有12,(,)xxab且12||xx，∴120,0,,(,)xxaa且12||xx，有|(')('')|fxfx成立.∴由Cauchy收敛准则，()fa存在.同理，()fb存在.推论2.1函数()fx在[,)ab上一致连续的充分必要条件是()fx在[,)ab上连续且()fb存在。推论2.2函数()fx在(,]ab上一致连续的充分必要条件是()fx在(,]ab上连续且()fa存在。四﹑一致连续函数的区间可加性定理3.（一致连续函数的区间可加性）函数()fx在区间1I和2I上一致连续，若12II，则()fx在12II上一致连续。]证明：1、若12II或12II，则结论显然；2、若1I和2I不相互包含。∵()fx分别在1I和2I上一致连续，∴10,0,',''xxI且1|'''|xx，有|(')('')|fxfx成立，220,',''xxI且2|'''|xx，有|(')('')|fxfx成立.现考察*12III，∴可从中取得一点0x.∵()fx在1I和2I上一致连续，∴它必在*12III上一致连续，∴()fx在0x处连续.由Cauchy收敛准则，上述330,0,',''(,)2xxx，有|(')('')|fxfx成立.∴上述3,0,不同时属于1I或2I的',''xx且3|'''|xx，有|(')('')|fxfx成立.∴123120,min{,,}0,',''xxII且|'''|xx，恒有|(')('')|fxfx成立.∴()fx在12II上一致连续.注：可以看到，该判别法的作用是非常强大的。它把函数已知的一致连续区间进行整合和延拓，得到新的一致连续区间。这样的的区间可加性为我们分段处理函数一致连续性问题提供了理论基础。在许多证明中，该判别法往往是简捷易行而又不可替代的。五﹑在无穷区间上连续与一致连续二者的关系在无穷区间上连续与一致连续有下面关系：定理4.函数()fx在[,)a上一致连续的充分条件是()fx在[,)a上连续且()f存在.证明：∵()lim()xffx存在，由Cauchy收敛准则，120,,,[1,)XxxX，有12|()|fxfx成立.∴()fx在[1,)X上一致连续.∵()fx在[,)a上连续，∴()fx在[,1]aX上连续，从而一致连续.∵[,1][1,)aXX，由定理3，()fx在[,)a上一致连续.推论4.1函数()fx在(,)a上一致连续的充分条件是()fx在(,)a上连续且()fa和()f都存在.同理，可得定理5及其推论：定理5.函数()fx在(,]b上一致连续的充分条件是()fx在(,]b上连续且()f存在.推论5.1函数()fx在(,)b上一致连续的充分条件是()fx在(,)b上连续且()fb和()f都存在.定理6函数()fx在(,)上一致连续的充分条件是()fx在(,)上连续且()f和()f都存在.证明：∵()fx在(,)上连续，∴()fx在[0,)上连续.∵()f存在，由定理4，()fx在[0,)上一致连续.同理()fx在(,0]上一致连续.∵[0,)(,0]，由定理3，()fx在(,)上一致连续.注：在定理4、5、6中，()f和()f的存在性都是非必要的。如sinx在(,)上一致连续，但sin()和sin()都不存在.六﹑在一般任意区间上连续与一致连续二者的关系根据以上几个特定区间上的判别法，完全可以得出一致连续函数在一般任意区间上的判别法。但是，我们注意到，上述判别法在某一特定区间上的要求往往是较为苛刻的，使用起来也不甚方便，甚至还可能会全部失效。可以解决这一问题的就是在一般任意区间上的特殊判别法。引理1.若对于定义在区间X上的函数()fx和()gx，0,',''LxxX，有|'('')||(')('')|fxfxLgxgx成立，而()gx在X上一致连续，则()fx在X上也一致连续。证明：∵()gx在X上一致连续，∴0,0,',''xxX且|'''|xx，有|(')('')|gxgxL成立.∴0,0,',''xxX且|'''|xx，有|'('')|fxfx|(')('')|LgxgxLL成立.∴()fx在X上一致连续.推论（Lipschitz）若函数()fx在区间X上满足下述Lipschitz条件，即0,',''LxxX，有|'('')||'''|fxfxLxx成立，则()fx在X上一致连续.证明：在引理1中取()gxx（满足在任意区间一致连续）即可。定理7.设函数()fx在区间X上连续，且满足()fx在X上有界，则()fx在X上一致连续.证明：(,)X，由Lagrange中值定理知：(,)，使()'()fff.∵'()fx在上X有界，∴0,(,),(,)MXX，有|'()|fxM成立.∴|'()|fM，即有()||ffM，∴|()|||ffM.由,的任意性知，()fx在X上满足Lipschitz条件，即0,','',MxxX，有|'('')||'''|fxfxMxx成立.由引理1推论，则()fx在X上一致连续.注:变量的改变很小时，其函数值其是否有界相比严格证明或求复杂极限要简单的多。正因为如此，该判别法往往是易行而颇具效用的。思考题：你能分别用区间套定理证明、致密性定理、有限覆盖定理证明Cantor定理吗？Cantor定理若函数f在闭区间[,]ab上连续，则f在[,]ab上一致连续.[证法一]（用区间套定理证明）（反证法）倘若f在[,]ab上不一致连续，即存在某正数0，对任何0，在[,]ab上恒存在相应两点',''xx，尽管|'''|xx但0|(')('')|fxfx，下面我们证明这一论断与f在[,]ab上的连续性假设相矛盾。现将[,]ab三等分，则在[,]ab的子区间2[,]ac和1[,]cb中至少有一个子区间具有如下性质（P）：对这个0，无论任何正数，在这子区间上总存在两点',''xx，尽管|'''|xx，但是0|(')('')|fxfx。如果这两个子区间都不具有性质（P），那么对这个0，分别存在正数121,()3ba，对2[,]ac中11',''xx任意两点和1[,]cb中22',''xx任意两点，只要111222|'''|,|'''|xxxx就有110220|(')('')|,|(')('')|fxfxfxfx（1）因此，令12min，