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10.2排列与组合第十一章10.2排列与组合-2-1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列与组合解决简单的实际问题.第十一章10.2排列与组合-3-1.排列与排列数:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它是一件事情,只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列;“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是所有不同排列的个数,是一个数值.排列数公式A𝑛𝑚=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),右边的第一个因数是n,后面的每一个因数都比前面一个少1,最后一个是n-m+1,共m个连续正整数相乘.当m,n较小时,可利用该公式计数;排列数公式还可表示成A𝑛𝑚=𝑛!(𝑛-𝑚)!,它主要有两个作用:一是当m,n较大时,可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时,写出这种形式更便于发现它们之间的规律.第十一章10.2排列与组合-4-2.组合与组合数:“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”,它是一件事情;“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数值.组合数公式的推导要借助于排列数公式,公式C𝑛𝑚=A𝑛𝑚A𝑚𝑚=𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)…(𝑛-𝑚+1)𝑚!,其分子的组成与排列数A𝑛𝑚相同,分母是m个元素的全排列数.当m,n较小时,可利用该公式计数;组合数公式还可以表示成C𝑛𝑚=𝑛!𝑚!(𝑛-𝑚)!,它有两个作用:一是当m,n较大时,可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的组合数式子进行变形和论证.第十一章10.2排列与组合-5-3.组合数公式有两个性质:(1)C𝑛𝑚=C𝑛𝑛-𝑚,该公式说明,从n个不同元素中取出m个元素与从n个不同元素中取出n-m个元素是一一对应关系,实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系;(2)C𝑛+1𝑚=C𝑛𝑚+C𝑛𝑚-1,该公式说明,从a1,a2,…,an+1中取出m个元素的组合数C𝑛+1𝑚可以分成两类:第一类含有元素a1,共C𝑛𝑚-1个;第二类不含元素a1,共C𝑛𝑚个.第十一章10.2排列与组合-6-基础自测1.8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为()A.A88A92B.A88C92C.A88A72D.A88C72答案解析解析关闭运用插空法.先将8名学生排列,有A88种排法;再把2位老师插入8名学生形成的9个空中,有A92种排法,因此共有A88A92种排法.答案解析关闭A第十一章10.2排列与组合-7-2.(2013四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20答案解析解析关闭记基本事件为(a,b),则基本事件空间Ω={(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)}共有20个基本事件,而lga-lgb=lg𝑎𝑏,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使lg𝑎𝑏的值相等,则不同值的个数为20-2=18(个),故选C.答案解析关闭C第十一章10.2排列与组合-8-答案解析解析关闭易知在满足a1a2a3的集合A中,仅有{1,2,9}不满足a3-a2≤6,故满足条件的集合A的个数为C93-1=83.答案解析关闭D3.设集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={a1,a2,a3}是S的子集,且a1,a2,a3满足a1a2a3,a3-a2≤6,则满足条件的集合A的个数为()A.78B.76C.84D.83第十一章10.2排列与组合-9-答案解析解析关闭先将两位爸爸排在首尾,再将两位小孩视为一个整体同两位妈妈一起排列,最后将两位小孩内部进行排列,故这6人入园的顺序排法种数共有A22A33A22=24.答案解析关闭244.刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要有两位爸爸,另外,两位小孩一定要排在一起,则这6人入园的顺序排法共有种.第十一章10.2排列与组合-10-5.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有种(用数字作答).答案解析解析关闭其余三个人站成一排有A33=6种,甲、乙两人插空有A42=12种,共6×12=72种.答案解析关闭72第十一章10.2排列与组合-11-考点一考点二考点三考点一有限制条件的排列问题【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数:(1)甲不在排头、乙不在排尾;(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位;(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻).答案答案关闭解:(1)①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况.若甲排在排尾共有A11A33=6种排法.若甲既不在排头也不在排尾共有A21A21A22=8种排法,由分类计数原理知满足条件的排法共有A11A33+A21A21A22=14(种).②也可间接计算:A44-2A33+A22=14(种).(2)可考虑直接排法:甲有3种排法;若甲排在第二位,则乙有3种排法;甲、乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1=9(种).(3)可先排丙、丁有A42种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足条件的排列共有A42·1=12(种),或看作定序问题A44A22=12(种).第十一章10.2排列与组合-12-考点一考点二考点三方法提炼对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”;对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空当,这种方法称为“插空法”;对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有:位置优先法、元素优先法、间接计算法.第十一章10.2排列与组合-13-考点一考点二考点三举一反三14个男同学,3个女同学站成一排.(1)3个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法?(2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法?(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人,有多少种不同的排法?(4)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法?(5)女同学从左到右按高矮顺序排,有多少种不同的排法?(3个女生身高互不相等)答案答案关闭解:(1)3个女同学是特殊元素,我们先把她们排好,共有A33种排法;由于3个女同学必须排在一起,我们可视排好的女同学为一整体,再与男同学排队,这时是5个元素的全排列,应有A55种排法,由分步计数原理,有A33A55=720种不同排法.(2)先将男生排好,共有A44种排法,再在这4个男生的中间及两头的5个空当中插入3个女生有A53种方案,故符合条件的排法共有A44A53=1440种不同排法.(3)甲、乙两人先排好,有A22种排法,再从余下5人中选3人排在甲、乙两人中间,有A53种排法,这时把已排好的5人视为一整体,与最后剩下的两人再排,又有A33种排法,这样总共有A22A53A33=720种不同排法.(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人,有A44种排法;由于甲、乙要相邻,故再把甲、乙排好,有A22种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有A52种排法.这样,总共有A44A22A52=960种不同排法.(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好,则有A74种排法.然后再在余下的3个空位置中排女生,由于女生要按身体高矮排列,故仅有一种排法.这样总共有A74=840种不同排法.第十一章10.2排列与组合-14-考点一考点二考点三考点二组合问题【例2】某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?(1)只有一名女生;(2)两队长当选;(3)至少有一名队长当选;(4)至多有两名女生当选;(5)既要有队长,又要有女生当选.答案答案关闭解:(1)依题意,应选一名女生,四名男生,故共有C51·C84=350(种).(2)将两队长作为一类,其他11人作为一类,故共有C22·C113=165(种).(3)至少有一名队长包含两类:只有一名队长和有两名队长,故共有C21·C114+C22·C113=825(种),或采用排除法:C135−C115=825(种).(4)至多有两名女生包含三类:有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为C52·C83+C51·C84+C85=966(种).(5)分两类:第一类女队长当选,有C124种;第二类女队长不当选:C41·C73+C42·C72+C43·C71+C44.故选法共有C124+C41·C73+C42·C72+C43·C71+C44=790(种).第十一章10.2排列与组合-15-考点一考点二考点三方法提炼1.注意问题有无顺序要求,一般有序问题用排列,无序问题用组合;2.有些复杂问题用直接法不好解决,往往选用间接法;3.均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序分组要除以均匀组数的阶乘数;还要考虑到是否与顺序有关,有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数.第十一章10.2排列与组合-16-考点一考点二考点三举一反三2(2013重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是.答案解析解析关闭方法一:从12名医生中任选5名,不同选法有C125=792种.不满足条件的有:只去骨科和脑外科两科医生的选法有C75=21种,只去骨科和内科两科医生的选法有C85−C55=55(种),只去脑外科和内科两科医生的选法有C95−C55=125(种),只去内科一科医生的选法有C55=1种,故符合条件的选法有:792-21-55-125-1=590(种).方法二:设选骨科医生x名,脑外科医生y名,则需选内科医生(5-x-y)人.(1)当x=y=1时,有C31·C41·C53=120种不同选法;(2)当x=1,y=2时,有C31·C42·C52=180种不同选法;(3)当x=1,y=3时,有C31·C43·C51=60种不同选法;(4)当x=2,y=1时,有C32·C41·C52=120种不同选法;(5)当x=2,y=2时,有C32·C42·C51=90种不同选法;(6)当x=3,y=1时,有C33·C41·C51=20种不同选法.所以不同的选法共有120+180+60+120+90+20=590(种).答案解析关闭590第十一章10.2排列与组合-17-考点一考点二考点三考点三排列与组合的综合应用【例3】现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加世界杯志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机4项工作之一,每项工作至少有1人参加.甲、乙不会开车但能从事其他3项工作,丙、丁、戊都能胜任4项工作,则不同安排方案的种数是()A.152B.126C.90D.54答案解析解析关闭(直接法)以从事司机工作为分类标准进行讨论:若有2人从事司机工作,则方案有C32A33=18;若有1人从事司机工作,则方案有C31C42A33=108种,所以不同安排方案种数是18+108=126.(间接法)5人从事4项工作,所有不同安排方案的种数是C52A44=240.不符合要求的有两类:一是甲、乙都从事司机工作,有A33=6种;二是甲、乙有1人从事司机工作,它包括只有1人从事司机工作和有2人从事司机工作,故共有C21C42A33+