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2.6对数与对数函数第二章2.6对数与对数函数-2-考纲要求1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系,并知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=ax(a0,且a≠1)与对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数.第二章2.6对数与对数函数-3-1.对数的概念与性质对数的定义如果ab=N(a0,且a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数对数的性质(1)负数和零没有对数.(2)loga1=0(a0,且a≠1).(3)logaa=1(a0,且a≠1).(4)𝑎log𝑎𝑁=N(a0,且a≠1,N0)2.几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0,且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN第二章2.6对数与对数函数-4-3.对数的运算(1)对数的运算性质如果a0,且a≠1,M0,N0,那么①loga(M·N)=logaM+logaN;②logaMN=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).(2)换底公式logab=𝑙𝑜𝑔cb𝑙𝑜𝑔ca(a0,且a≠1;c0,且c≠1;b0).第二章2.6对数与对数函数-5-4.对数函数的图象和性质(1)对数函数的定义一般地,我们把函数y=logax(a0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).想一想对数函数y=logax中为什么规定a0且a≠1呢?答案:根据对数式与指数式的关系知,y=logax可化为ay=x,联想指数函数中底数的范围,可知a0,且a≠1.第二章2.6对数与对数函数-6-(2)对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象和性质函数y=logax(a0,且a≠1)a10a1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R过定点(1,0),即x=1时,y=0单调性:在(0,+∞)上是增函数单调性:在(0,+∞)上是减函数当0x1时,y∈(-∞,0);当x1时,y∈(0,+∞)当0x1时,y∈(0,+∞);当x1时,y∈(-∞,0)第二章2.6对数与对数函数-7-5.指数函数与对数函数的关系函数y=ax(a0,且a≠1)与函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数.第二章2.6对数与对数函数-8-基础自测1.若a0,a≠1,xy0,n∈N*,则下列各式:①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;③logax=-loga1x;④𝑙𝑜𝑔axn=1nlogax;⑤𝑙𝑜𝑔axn=logaxn;⑥logax-yx+y=-logax+yx-y.其中正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案解析解析关闭由对数运算性质可知③⑤⑥正确.答案解析关闭B第二章2.6对数与对数函数-9-2.函数y=2-x𝑙𝑔x的定义域是()A.{x|0x2}B.{x|0x1,或1x2}C.{x|0x≤2}D.{x|0x1,或1x≤2}答案解析解析关闭由2-𝑥≥0,𝑥0,𝑥≠1,得0x1或1x≤2.答案解析关闭D第二章2.6对数与对数函数-10-3.(2013课标全国高考Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.cbaB.bcaC.acbD.abc答案解析解析关闭根据公式变形,a=lg6lg3=1+lg2lg3,b=lg10lg5=1+lg2lg5,c=lg14lg7=1+lg2lg7,因为lg7lg5lg3,所以lg2lg7lg2lg5lg2lg3,即cba.故选D.答案解析关闭D第二章2.6对数与对数函数-11-4.函数y=lg1|x+1|的大致图象为()答案解析解析关闭因为y=lg1|𝑥|是偶函数,在x0时图象递减,在x0时图象递增,且关于y轴对称,则y=lg1|𝑥+1|的图象是由y=lg1|𝑥|的图象向左平移一个单位长度得到的.故选D.答案解析关闭D第二章2.6对数与对数函数-12-5.函数y=loga(x-1)+2(a0且a≠1)的图象恒过一定点是(2,2).第二章2.6对数与对数函数-13-考点一考点二考点三误区警示考点一对数式的化简与求值【例1】已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=.答案解析解析关闭由已知可得,lg(ab)=1,∴f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=lg(a2b2)=2lg(ab)=2×1=2.答案解析关闭2第二章2.6对数与对数函数-14-考点一考点二考点三误区警示方法提炼对数式化简求值的基本思路:(1)利用换底公式及lo𝑔amNn=nmlogaN尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算;(2)利用对数的运算法则,将对数的和、差、倍数运算,转化为对数真数的积、商、幂再运算;(3)利用约分、合并同类项,尽量地求出具体值.第二章2.6对数与对数函数-15-考点一考点二考点三误区警示举一反三1已知a=log23+log23,b=log29-log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是()A.a=bcB.a=bcC.abcD.abc答案解析解析关闭a=log23+log23=log233,b=log29-log23=log233,因此a=b,而log233log22=1,log32log33=1,所以a=bc,故选B.答案解析关闭B第二章2.6对数与对数函数-16-考点一考点二考点三误区警示考点二对数函数的图象与性质【例2-1】若函数f(x)=loga(x+b)的大致图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的大致图象是()答案解析解析关闭本题主要考查指数函数、对数函数的图象及图象的平移变换.考查了数形结合思想.由已知函数f(x)=loga(x+b)的图象可得0a1,0b1.则g(x)=ax+b的图象由y=ax的图象沿y轴向上平移b个单位而得到,故选B.答案解析关闭B第二章2.6对数与对数函数-17-考点一考点二考点三误区警示【例2-2】已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性.答案答案关闭(1)由ax-10,得ax1.当a1时,x0;当0a1时,x0.∴当a1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0a1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a1时,设0x1x2,则1𝑎𝑥1𝑎𝑥2,故0𝑎𝑥1-1𝑎𝑥2-1,∴loga(𝑎𝑥1-1)loga(𝑎𝑥2-1).∴f(x1)f(x2).故当a1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.类似地,当0a1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.第二章2.6对数与对数函数-18-考点一考点二考点三误区警示方法提炼1.利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法:(1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的;(2)当外函数为对数函数时,找出内函数的定义域;(3)分别求出两函数的单调区间;(4)按照“同增异减”确定函数的单调区间.提醒:研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.第二章2.6对数与对数函数-19-考点一考点二考点三误区警示2.图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系可按下列规律进行记忆:图中直线y=1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数,所以0cd1ab,在x轴上方由左到右底数逐渐增大,在x轴下方由左到右底数逐渐减小.第二章2.6对数与对数函数-20-考点一考点二考点三误区警示举一反三2已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2,且f12014=4,则f(2014)的值为.答案解析解析关闭∵f12014+f(2014)=alog212014+blog312014+2+alog22014+blog32014+2=4,∴f(2014)=0.答案解析关闭0第二章2.6对数与对数函数-21-考点一考点二考点三误区警示考点三对数函数性质的综合应用【例3】已知函数f(x)=-x+log21-x1+x,(1)求f12014+f-12014的值;(2)当x∈(-a,a],其中a∈(0,1),a是常数时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.答案答案关闭(1)f(x)的定义域是(-1,1),f(x)=-x+log21-𝑥1+𝑥,f(-x)=x+log21+𝑥1-𝑥=-(-x)+log21-𝑥1+𝑥-1=--𝑥+log21-𝑥1+𝑥=-f(x).即f(x)+f(-x)=0.所以f12014+f-12014=0.(2)令t=1-𝑥1+𝑥=-1+21+𝑥在(-1,1)内单调递减,y=log2t在t0上单调递增,所以f(x)=-x+log21-𝑥1+𝑥在(-1,1)内单调递减.所以当x∈(-a,a],其中a∈(0,1),函数f(x)存在最小值f(a)=-a+log21-𝑎1+𝑎.第二章2.6对数与对数函数-22-考点一考点二考点三误区警示方法提炼1.求f(a)+f(-a)的值,常常联想到函数的奇偶性,因此,解此类问题一般先判断奇偶性,再求值.2.求形如f(2014),f(2013)的值往往与函数的周期有关,求此类函数值一般先研究函数的周期性.3.已知函数的最值或求函数的最值,往往探究函数的单调性.第二章2.6对数与对数函数-23-考点一考点二考点三误区警示举一反三3已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a0且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a1时,求使f(x)0的x的取值范围.答案答案关闭(1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则𝑥+10,1-𝑥0,解得-1x1.故所求定义域为{x|-1x1}.(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为{x|-1x1},且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x).故f(x)为奇函数.(3)因为当a1时,f(x)在定义域{x|-1x1}上是增函数,所以f(x)0⇔𝑥+11-𝑥1.解得0x1.所以使f(x)0的x的取值范围是{x|0x1}.第二章2.6对数与对数函数-24-考点一考点二考点三误区警示误区警示易忽略对数函数单调性的限制条件而致误【典例】已知y1=loga(x2-x),y2=loga(-2x)(a0且a≠1),若y1y2,求x的取值范围.答案答案关闭因为y1y2,所以loga(x2-x)loga(-2x).当a1时,则x2-x0,-2x0,x2-x-2x,解得x-1;当0a1时,则x2-x0,-2x0,x2-x-2x,解得-1x0.故x的取值范围为a1时,x∈(-∞,-1);0a1时,x∈(-1,0).第二章2.6对数与对数函数-25-考点一考点二考点三误区警示反思提升1.本题中易出现的错误有2种:(1)没有求函数定义域,把定义域误当成了实数集R;(2)函数单调性运用错误,没有对a进行分类讨论,误认为a1.2.在函数的转化过程中,或研究函数的性质时,一定要注意定义域优先原则,还要注意转化过程是否等价,对含有参数的问题要有较强的分类讨论意识.第二章2.6对数与对数函数-26-1231.(2013浙江高考)已知x,y为正实数,则()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgyD