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2.8函数的图象及其变换第二章2.8函数的图象及其变换-2-考纲要求1.掌握基本初等函数的图象的特征,能熟练运用基本初等函数的图象解决问题.2.掌握图象的作法:描点法和图象变换法.3.会运用函数图象理解和研究函数性质,解决方程解的个数或与不等式相关的问题.第二章2.8函数的图象及其变换-3-1.作图:作函数图象有两种基本方法(1)描点法其基本步骤是列表、描点、连线.首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点);再次:描点;最后:连线.第二章2.8函数的图象及其变换-4-(2)图象变换法①平移变换左右平移:y=f(x±a)(a0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.上下平移:y=f(x)±b(b0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位而得到.②对称变换y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变而得到.要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关于y轴的对称性,作出x0的图象而得到.第二章2.8函数的图象及其变换-5-③伸缩变换y=Af(x)(A0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变而得到.y=f(ax)(a0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1a,纵坐标不变而得到.想一想“函数满足f(-x)=f(x),x∈R”与“y=f(-x)和y=f(x)关于y轴对称”是一回事吗?答案:不是一回事,“函数满足f(-x)=f(x),x∈R”说明y=f(x)是偶函数,图象自身关于y轴对称;而“y=f(-x)和y=f(x)关于y轴对称”是描述的两个函数图象的对称关系.第二章2.8函数的图象及其变换-6-2.有关函数图象的几个结论(1)若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于x=a+b2成轴对称图形;(2)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=12(b-a)对称.(3)若定义在R上的函数f(x)关于直线x=a与x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期(未必是最小正周期,下同).(4)若定义在R上的函数关于点(a,c)和(b,c)(ba)都成中心对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.(5)若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,c)成中心对称,又关于直线x=b(ba)成轴对称,则f(x)是周期函数,4b-4a是它的一个周期.第二章2.8函数的图象及其变换-7-基础自测1.(2014届江西师大附中高三月考)函数f(x)=loga|x|+1(0a1)的图象大致为()答案解析解析关闭因为f(-x)=f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数f(x)=loga|x|+1(0a1)为偶函数.当x0时,f(x)=logax+1(0a1)图象单调递减,且向上平移,据此可知答案选A.答案解析关闭A第二章2.8函数的图象及其变换-8-2.当0a1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是()答案解析解析关闭当0a1时,y=a-x为增函数且过点(0,1),y=logax为减函数且过点(1,0),故应选C.答案解析关闭C第二章2.8函数的图象及其变换-9-3.若点(a,b)在y=lgx图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是()A.1a,bB.(10a,1-b)C.10a,b+1D.(a2,2b)答案解析解析关闭当x=a2时,y=lga2=2lga=2b,所以点(a2,2b)在函数y=lgx图象上.答案解析关闭D第二章2.8函数的图象及其变换-10-4.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是.答案解析解析关闭在同一直角坐标系中,画出函数y=|x|和函数y=-x+a的图象,即可知当a0时,两函数有且只有一个交点,即|x|=a-x只有一个解.答案解析关闭(0,+∞)第二章2.8函数的图象及其变换-11-5.若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数f(4-x)的图象一定经过点.答案解析解析关闭因为y=f(x)的图象过点(1,1),所以f(1)=1.所以f(4-3)=1.故函数f(4-x)的图象一定经过点(3,1).答案解析关闭(3,1)第二章2.8函数的图象及其变换-12-考点一考点二考点三考点一作函数的图象【例1】作出下列函数的图象.(1)y=2x+2;(2)y=|log2x-1|;(3)y=x+2x+3.解:(1)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图.第二章2.8函数的图象及其变换-13-考点一考点二考点三(2)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图.(3)因为y=x+2x+3=1-1x+3,所以原函数可由y=-1x向左平移3个单位,再向上平移1个单位而得,如图.第二章2.8函数的图象及其变换-14-考点一考点二考点三方法提炼画函数图象的一般方法有:(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.提醒:对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减;但要注意加、减指的是在自变量上,否则不成立.第二章2.8函数的图象及其变换-15-考点一考点二考点三举一反三1函数y=ax-a(a0,且a≠1)的图象可能是()答案解析解析关闭当a1时,y=ax是增函数,-a-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0a1时,y=ax是减函数,-1-a0,y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴上方,y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项C正确,选项D不正确.答案解析关闭C第二章2.8函数的图象及其变换-16-考点一考点二考点三考点二函数图象与解析式的对应关系【例2】(2013福建高考)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是()答案解析解析关闭由f(0)=0可知函数图象经过原点.又f(-x)=f(x),所以函数图象关于y轴对称,故选A.答案解析关闭A第二章2.8函数的图象及其变换-17-考点一考点二考点三方法提炼寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法:1.知图选式:(1)从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;(2)从图象的变化趋势,观察函数的单调性;(3)从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;(4)从图象的循环往复,观察函数的周期性.利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.第二章2.8函数的图象及其变换-18-考点一考点二考点三2.知式选图:(1)从函数的定义域,判断图象左右的位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;(5)必要时可求导研究函数性质.利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.提醒:注意联系基本函数图象的模型,当选项无法排除时,代特殊值,或从某些量上也能寻找突破口.第二章2.8函数的图象及其变换-19-考点一考点二考点三举一反三2已知f(x)是R上的奇函数,且当x0时,f(x)=12x+1,则函数y=f(-x)的图象大致是()答案解析解析关闭易知,f(x)的图象为:由y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称,可知选C.答案解析关闭C第二章2.8函数的图象及其变换-20-考点一考点二考点三考点三函数图象的应用【例3】(2013湖南高考)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0答案解析解析关闭设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x,y),则y=2lnx,y=x2-4x+5,联立得2lnx=x2-4x+5,令h(x)=x2-4x+5-2lnx(x0),由h'(x)=2x-4-2𝑥=0得x1=1+2,x2=1-2(舍).当h'(x)0时,即x∈(0,1+2)时,h(x)单调递减;当h'(x)0,即x∈(1+2,+∞)时,h(x)单调递增.又∵h(1)=20,h(2)=1-2ln20,h(4)=5-2ln40,∴h(x)与x轴必有两个交点,故答案为B.答案解析关闭B第二章2.8函数的图象及其变换-21-考点一考点二考点三方法提炼1.利用函数的图象研究函数的性质,一定要注意其对应关系,如:图象的左右范围对应定义域,上下范围对应值域;上升、下降趋势对应单调性、对称性对应奇偶性;2.有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数;利用此法也可由解的个数求参数值;3.有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解.第二章2.8函数的图象及其变换-22-考点一考点二考点三举一反三3函数y=11-x的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8答案解析解析关闭由题意知y=11-𝑥=-1𝑥-1的图象是双曲线,且关于点(1,0)成中心对称.又y=2sinπx的周期为T=2ππ=2,也关于点(1,0)成中心对称,因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称,如图所示,可知两个图象在[-2,4]上有8个交点,因此8个交点的横坐标和x1+x2+…+x8=4×2=8.答案解析关闭D第二章2.8函数的图象及其变换-23-12341.函数f(x)=𝑙𝑜𝑔3x,x0,𝑐𝑜𝑠𝜋x,x0的图象上关于y轴对称的点共有(D)A.0对B.1对C.2对D.3对第二章2.8函数的图象及其变换-24-12342.函数y=2x-x2的图象大致是()答案解析解析关闭易探索知x=2和4是函数的两个零点,故排除B,C;再结合y=2x与y=x2的变化趋势,可知当x→-∞时,02x1,而x2→+∞,因此2x-x2→-∞,故排除D,选A.答案解析关闭A第二章2.8函数的图象及其变换-25-12343.函数f(x)是定义在区间[-c,c](c2)上的奇函数,其图象如图所示.令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(x)的叙述正确的是()A.若a0,则函数g(x)的图象关于原点对称B.若a=1,0b2,则方程g(x)=0有大于2的实根C.若a=-2,b=0,则函数g(x)的图象关于y轴对称D.若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有三个实根答案解析解析关闭方法一:排除法,当a0,b≠0时,g(x)=af(x)+b是非奇非偶函数,不关于原点对称,排除A;当a=-2,b=0时,g(x)=-2f(x)是奇函数,不关于y轴对称,排除C;当a≠0,b=2时,∵g(x)=af(x)+b=af(x)+2,当g(x)=0时,有af(x)+2=0,∴f(x)=-2𝑎,从图中可以看到,当-2-2𝑎2时,f(x)=-2𝑎才有三个实根,∴g(x)=0也不一定有三个实根,排除D;方法二:当a=1,0b2时,g(x)=f(x)+b,由图