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2.9函数与方程第二章2.9函数与方程-2-考纲要求1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解,并且了解这种方法是求方程近似解的常用方法.第二章2.9函数与方程-3-1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.第二章2.9函数与方程-4-想一想用零点存在性定理判断零点,适用于所有的零点吗?答案:零点存在性定理判断零点仅适用于变号零点.第二章2.9函数与方程-5-2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210第二章2.9函数与方程-6-3.二分法(1)二分法的定义对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.第二章2.9函数与方程-7-(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)0,给定精确度ε;第二步,求区间(a,b)的中点c;第三步,计算f(c);①若f(c)=0,则c就是函数的零点;②若f(a)·f(c)0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));③若f(c)·f(b)0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.第二章2.9函数与方程-8-基础自测1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是(C)A.0,2B.0,12C.0,-12D.2,-12第二章2.9函数与方程-9-2.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,则m的取值范围是()A.(-2,6)B.[-2,6]C.{-2,6}D.(-∞,-2)∪(6,+∞)答案解析解析关闭依题意,有Δ=m2-4(m+3)0,即(m-6)(m+2)0,解得m6或m-2,选D.答案解析关闭D第二章2.9函数与方程-10-3.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是()答案解析解析关闭能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)0.A,B中不存在f(x)0,D中函数不连续,故选C.答案解析关闭C第二章2.9函数与方程-11-4.在以下区间中,存在函数f(x)=x3+3x-3的零点的是()A.[-1,0]B.[1,2]C.[0,1]D.[2,3]答案解析解析关闭注意到f(-1)=-70,f(0)=-30,f(1)=10,f(2)=110,f(3)=330,结合各选项知,选C.答案解析关闭C第二章2.9函数与方程-12-5.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.6000)=0.200f(1.5875)=0.133f(1.5750)=0.067f(1.5625)=0.003f(1.5562)=-0.029f(1.5500)=-0.060据此数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确到0.01)为.答案解析解析关闭由表中f(1.5625)=0.003,f(1.5562)=-0.029,可知零点近似值为1.56.答案解析关闭1.56第二章2.9函数与方程-13-考点一考点二考点三考点一函数零点的求解与判定【例1】(2013天津高考)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4答案解析解析关闭函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=12𝑥.令g(x)=|log0.5x|,h(x)=12𝑥,作g(x),h(x)的图象如图所示.因为两个函数图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.答案解析关闭B第二章2.9函数与方程-14-考点一考点二考点三方法提炼1.判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上;(2)利用函数零点的存在性定理进行判断;(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.第二章2.9函数与方程-15-考点一考点二考点三2.函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.注意:函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点,而是y=f(x)与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数;并非任意函数都有零点,只有f(x)=0有根的函数y=f(x)才有零点.第二章2.9函数与方程-16-考点一考点二考点三举一反三1已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案解析解析关闭函数f(x)的导数为f'(x)=1𝑥,所以g(x)=f(x)-f'(x)=lnx-1𝑥.因为g(1)=ln1-1=-10,g(2)=ln2-120,所以函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.答案解析关闭B第二章2.9函数与方程-17-考点一考点二考点三考点二二分法的应用【例2】在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为.答案解析解析关闭区间(1,2)的中点x0=32,令f(x)=x3-2x-1,f32=278-40,f(2)=8-4-10,则根所在区间为32,2.答案解析关闭32,2第二章2.9函数与方程-18-考点一考点二考点三方法提炼利用二分法求近似解需注意的问题:(1)第一步中:①区间长度尽量小;②f(a),f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)0;(2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与相应方程的根是等价的.第二章2.9函数与方程-19-考点一考点二考点三提醒:(1)对于方程f(x)=g(x)的根,可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根.(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则y=f(x)在区间[a,b]上的图象不一定是连续不断的图象,也不一定总有f(a)·f(b)0成立,如下图(1)(2)所示:第二章2.9函数与方程-20-考点一考点二考点三举一反三2在用二分法求方程x2=2的正实数根的近似解(精确度0.001)时,如果我们选取初始区间是[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是.答案解析解析关闭设至少需要计算n次,由题意知1.5-1.42𝑛0.001,即2n100.由26=64,27=128知n=7.答案解析关闭7第二章2.9函数与方程-21-考点一考点二考点三考点三函数零点的综合应用【例3】设f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若关于x的函数F(x)=g(x)-f(x)-m在[1,2]上有零点,求m的取值范围.答案答案关闭令F(x)=0,即log2(2x-1)-log2(2x+1)-m=0,∴m=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log22𝑥-12𝑥+1=log21-22𝑥+1.∵1≤x≤2,∴3≤2x+1≤5.∴25≤22𝑥+1≤23.∴13≤1-22𝑥+1≤35.∴log213≤log21-22𝑥+1≤log235,即log213≤m≤log235.第二章2.9函数与方程-22-考点一考点二考点三方法提炼已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.第二章2.9函数与方程-23-考点一考点二考点三举一反三3已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+𝑒2x(x0).(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.第二章2.9函数与方程-24-考点一考点二考点三解:(1)方法一:∵g(x)=x+e2𝑥≥2e2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因此,只需m≥2e,则g(x)=m就有实数根.第二章2.9函数与方程-25-考点一考点二考点三方法二:作出g(x)=x+e2𝑥(x0)的大致图象如图:可知若使g(x)=m有实数根,则只需m≥2e.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+e2𝑥(x0)的大致图象.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,∴f(x)的图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).第二章2.9函数与方程-26-1231.方程2-x+x2=3的实数解的个数为()A.2B.3C.1D.4答案解析解析关闭构造函数y=2-x与y=3-x2,在同一坐标系中作出它们的图象,可知有两个交点,故方程2-x+x2=3的实数解的个数为2.故选A.答案解析关闭A第二章2.9函数与方程-27-1232.已知函数f(x)=kx2-3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点,则实数k的取值范围为()A.0,94B.0,94C.-∞,94D.-∞,94答案解析解析关闭(1)当k=0时,f(x)=-3x+1与x轴的交点为13,0,符合题意;(2)k≠0时,f(0)=1;k0时,f(x)的图象是开口向下的抛物线,它与x轴的两交点分别在原点的两侧;k0时,f(x)的图象是开口向上的抛物线,必须𝛥=9-4𝑘≥0,32𝑘0,解得0k≤94.综上可得k的取值范围为k≤94.答案解析关闭D第二章2.9函数与方程-28-1233.已知函数f(x)=x2+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内,则实数k的取值范围是.答案解析解析关闭∵Δ=(1-k)2+4k=(1+k)2≥0对一切k∈R恒成立,又k=-1时,f(x)的零点x=-1∉(2,3),∴要使函数f(x)=x2+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内,则必有f(2)·f(3)0,即(6-3k)·(12-4k)0,∴2k3.∴实数k的取值范围为(2,3).答案解析关闭(2,3)