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第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算第三章3.1导数、导数的计算-3-1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=1𝑥,y=𝑥的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.第三章3.1导数、导数的计算-4-1.平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为𝑓(𝑥2)-f(𝑥1)𝑥2-𝑥1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为Δ𝑦Δ𝑥.2.导数的概念一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥,称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|𝑥=𝑥0.3.导函数如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)内可导.这样,对开区间(a,b)内每一个值x,都对应一个确定的导数f'(x).于是在区间(a,b)内f'(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数,记为f'(x)或y'.第三章3.1导数、导数的计算-5-4.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).第三章3.1导数、导数的计算-6-想一想曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”有何区别与联系?答案:(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指以点P为切点,切线斜率为k=f'(x0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.第三章3.1导数、导数的计算-7-5.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xn(n∈Q,n≠0)f'(x)=nxn-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=axf'(x)=axlna(a0),且a≠1f(x)=exf'(x)=exf(x)=logaxf'(x)=1x𝑙na(a0,且a≠1)f(x)=lnxf'(x)=1x第三章3.1导数、导数的计算-8-6.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)'=𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑔'(𝑥)[𝑔(𝑥)]2(g(x)≠0).7.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.第三章3.1导数、导数的计算-9-基础自测1.若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则Δ𝑦Δ𝑥等于()A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2答案解析解析关闭∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-1=4Δx+2(Δx)2,∴Δ𝑦Δ𝑥=4+2Δx.答案解析关闭C第三章3.1导数、导数的计算-10-2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=13t3-32t2+2t,那么速度为零的时刻是()A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末答案解析解析关闭∵s=13t3-32t2+2t,∴v=s'=t2-3t+2.令v=0,得t2-3t+2=0,t1=1,t2=2.答案解析关闭D第三章3.1导数、导数的计算-11-3.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0答案解析解析关闭∵f'(x)=4ax3+2bx为奇函数,∴f'(-1)=-f'(1)=-2.答案解析关闭B第三章3.1导数、导数的计算-12-4.若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=()A.-1B.0C.1D.2答案解析解析关闭依题意得f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin0=2×0+b,b=0,m=f(0)=g(0),即m=a=1,因此a+b=1,选C.答案解析关闭C第三章3.1导数、导数的计算-13-5.曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为.答案解析解析关闭依题意得y'=ex+xex+2,当x=0时,y'=3,所以曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1.答案解析关闭y=3x+1第三章3.1导数、导数的计算-14-考点一考点二考点三考点四考点一根据导数的定义求函数的导数【例1】已知f'(2)=2,f(2)=3,则lim𝑥→2𝑓(𝑥)-3𝑥-2+1的值为()A.1B.2C.3D.4答案解析解析关闭令Δx=x-2,则lim𝑥→2𝑓(𝑥)-3𝑥-2+1=limΔ𝑥→0𝑓(Δ𝑥+2)-𝑓(2)Δ𝑥+1=f'(2)+1=2+1=3.答案解析关闭C第三章3.1导数、导数的计算-15-方法提炼1.根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法.确定y=f(x)在x=x0处的导数有两种方法:一是导数的定义法,二是导函数的函数值法.2.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的求解步骤:考点一考点二考点三考点四第三章3.1导数、导数的计算-16-举一反三1设f(x)为可导函数,且满足lim𝑥→0𝑓(1)-𝑓(1-2𝑥)2𝑥=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2答案解析解析关闭lim𝑥→0𝑓(1)-𝑓(1-2𝑥)2𝑥=lim𝑥→0𝑓(1-2𝑥)-𝑓(1)-2𝑥=-1,即y'|x=1=-1,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-1.答案解析关闭B考点一考点二考点三考点四第三章3.1导数、导数的计算-17-考点一考点二考点三考点四考点二导数的运算【例2】求下列函数的导数:(1)y=x2cosx;(2)y=11-𝑥+11+𝑥.答案答案关闭(1)y'=(x2cosx)'=(x2)'cosx+x2(cosx)'=2xcosx-x2sinx.(2)y'=11-𝑥+11+𝑥'=21-𝑥'=2(1-𝑥)2.第三章3.1导数、导数的计算-18-方法提炼一般来说,分式函数求导,要先观察函数的结构特征,可化为整式函数或较为简单的分式函数;对数函数的求导,可先化为和、差的形式;三角函数的求导,先利用三角函数公式转化为和或差的形式;有的函数虽然表面形式为函数商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.考点一考点二考点三考点四第三章3.1导数、导数的计算-19-举一反三2求下列函数的导数:(1)y=ln𝑥𝑥2;(2)y=cos2𝑥sin𝑥+cos𝑥.答案答案关闭(1)y'=ln𝑥𝑥2'=1𝑥·𝑥2-2xln𝑥𝑥4=1-2ln𝑥𝑥3;(2)y'=cos2𝑥sin𝑥+cos𝑥'=cos2x-sin2xcos𝑥+sin𝑥'=(cosx-sinx)'=-(sinx+cosx).考点一考点二考点三考点四第三章3.1导数、导数的计算-20-考点一考点二考点三考点四考点三复合函数的导数运算【例3】求下列复合函数的导数:(1)y=(2x-3)5;(2)y=3-𝑥;(3)y=sin22𝑥+π3;(4)y=ln(2x+5).答案答案关闭(1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3复合而成,∴y'=f'(u)·u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u4=10(2x-3)4.(2)设u=3-x,则y=3-𝑥由y=𝑢12与u=3-x复合而成.∴y'=f'(u)·u'(x)=(𝑢12)'(3-x)'=12𝑢-12(-1)=-12𝑢-12=-123-𝑥=3-𝑥2𝑥-6.(3)设y=u2,u=sinv,v=2x+π3,则y'x=y'u·u'v·v'x=2u·cosv·2=4sin2𝑥+π3·cos2𝑥+π3=2sin4𝑥+2π3.(4)设y=lnu,u=2x+5,则y'x=y'u·u'x,∴y'=12𝑥+5·(2x+5)'=22𝑥+5.第三章3.1导数、导数的计算-21-方法提炼由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程.考点一考点二考点三考点四第三章3.1导数、导数的计算-22-举一反三3求下列复合函数的导数:(1)y=(1+sinx)2;(2)y=ln𝑥2+1;(3)y=xe1-cosx;(4)y=1(1-3𝑥)4.答案答案关闭(1)设u=1+sinx,则y=(1+sinx)2由y=u2与u=1+sinx复合而成.∴y'=f'(u)·u'=2u·cosx=2(1+sinx)·cosx.(2)y'=(ln𝑥2+1)'=1𝑥2+1·(𝑥2+1)'=1𝑥2+1·12(x2+1)-12(x2+1)'=𝑥𝑥2+1.(3)y'=(xe1-cosx)'=e1-cosx+x(e1-cosx)'=e1-cosx+x[e1-cosx·(1-cosx)']=e1-cosx+xe1-cosx·sinx=(1+xsinx)e1-cosx.(4)设u=1-3x,y=u-4,则y'x=y'u·u'x=-4u-5·(-3)=12(1-3𝑥)5.考点一考点二考点三考点四第三章3.1导数、导数的计算-23-考点一考点二考点三考点四考点四导数的几何意义【例4】曲线y=lnx(x0)的一条切线是直线y=12x+b,则实数b的值为()A.2B.ln2+1C.ln2-1D.ln2答案解析解析关闭∵y=lnx的导数为y'=1𝑥,∴1𝑥=12,解得x=2,∴切点为(2,ln2).将其代入直线y=12x+b得b=ln2-1.答案解析关闭C第三章3.1导数、导数的计算-24-方法提炼1.求曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)即为曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率;(2)由切点(x0,f(x0))和斜率f'(x0),用点斜式写出切线方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),再化为一般式即可.特别地,如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于x轴,则此时导数f'(x0)不存在,由切线定义可知,切线方程为x=x0.2.求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程可设切点为(x1,y1),由𝑦1=f(𝑥1),𝑦0-𝑦1=f'(𝑥1)(𝑥0-𝑥1)解出x1,进而确定过点P的切线方程为y-y0=f'(x1)(x-x0),再化为一般式即可.考点一考点二考点三考点四第三章3.1导数、导数的计算-25-举一反三4已知曲线y1=2-1𝑥与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为()A.-2B.2C.12D.1答案解析解析关闭由题知y'1=1𝑥2,y'2=3x2-2x+2,∴两曲线在x=x0处切线的斜率分别为1𝑥02,3𝑥02-2x0+2,所以3𝑥02-2𝑥0+2𝑥02=3,所以x0=1.答案解析关闭D考点一考点二考点三考点四第三章3.1导数、导数的计算-26-1231.曲线y=sin𝑥sin𝑥+cos𝑥−12在点Mπ4,0处的切线的斜率为(