与圆有关的阴影面积的计算

属于我们自己的中考九年级数学习题第1页辅导材料:与圆有关的阴影面积的计算准备阶段:1.圆的面积公式:S2r.其中r为圆的半径.2.半圆的面积公式:21半圆S2r.3.扇形的面积公式:3602rnS扇形.其中r为扇形的半径,n为扇形的半径.4.扇形的面积公式（另）:lrS21扇形.其中r为扇形的半径,l为扇形的弧长.证明:∵3602rnS扇形,180rnl∴lrrrnrnS21180213602扇形.5.关于旋转:（1）复习旋转的性质.（2）会画出一个图形旋转后的图形.（3）旋转的作用:通过旋转,有时候我们可以把分散的几何条件集中起来,使题目呈现出整体上的特点.该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算.6.重点介绍:转化思想在解决数学问题时,把复杂问题简单化,把一般问题特殊化,把抽象问题具体化等的思想方法,叫做转化思想.7.怎样求与圆有关的阴影的面积?（1）利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式.（2）利用整体与部分之间的关系.（3）采用整体思想求不规则图形的面积,一般将其转化为规则图形的和差来解决,具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化.属于我们自己的中考九年级数学习题第2页实战阶段:★1.（2015.河南）如图（1）所示,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交弧AB于点E.以点O为圆心,OC的长为半径作弧CD交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为__________.图（1）EDBCAO图（1）EDBCAO解析:图（1）中阴影所在图形为不规则图形,可以利用整体与部分之间的关系的方法求解,即采用整体和差的方法.解:连结OE.∴OA=OB=OE∵CE⊥OA∴△COE为直角三角形∵点C为OA的中点∴12121OEOAOC∴在Rt△COE中,∠CEO=30°∴∠EOC=60°∵∠AOB=90°∴∠BOE=30°在Rt△COE中,由勾股定理得:3122222OCOECEOCDOBECOESSSS扇形扇形阴影1223360190360230312122★2.（2015.贵州遵义）如图（2）所示,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2cm,C为弧AB的中点,D、E分别是OA、OB的中点,则图中阴影部分的面积是__________.图（2）CADEOBMCADEOB属于我们自己的中考九年级数学习题第3页解:连结OC,并作CM⊥OA于点M.∵点C为弧AB的中点,∠AOB=90°∴∠AOC=∠BOC=21∠AOB=45°∴△COM为等腰直角三角形∴OM=CM∵OC=2cm∴CM=OC222245sincm∵D、E分别是OA、OB的中点∴OD=OE=1cm∴DM=OM－OD=)12(cmDOECDMCOMOBCSSSSS扇形阴影21221122122212)21222(cm2.注意:若题目对结果无特殊要求,则结果保留,不取具体值.★3.(2015.开封二模)如图（3）所示,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2.点D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上,则图中阴影部分的面积为_______________.解析:本题问题的解决要用到三角形全等的知识,请复习:（1）三角形全等的判定定理有哪些?（2）全等三角形具有怎样的性质?对于第二个问题,全等三角形的面积相等,我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.图（3）EDBACF解:连结CD.设DE与AC交于点M,DF与BC交于点N.21MNEDBACF∵∠ACB=90°∴∠CDE＋∠1=90°∵CA=CB,点D为AB的中点∴CD⊥AB（等腰三角形“三线合一”）∴∠CDE＋∠2=90°∴∠1=∠2∴∠DCN=21ACB=45°属于我们自己的中考九年级数学习题第4页∴∠DAM=∠DCN∵∠ACB=90°∴121ADABCD∴DE=CD=1在△ADM和△CDN中∵12CDADDCNDAM∴△ADM≌△CDN(ASA)∴S△ADM=S△CDN∵S四边形DMCN=S△CDM+S△DCNS△ACD=S△CDM+S△ADM∴S四边形DMCN=S△ACD∴DMCNDEFSSS四边形扇形阴影2142113601902—扇形ACDDEFSS21MNEDBACF在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要大多数扇形的圆心角题目会直接给出,但有时却需要我们自己求解.见第★5题.★4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示,在扇形OAB中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠.点O恰好落在弧AB上点D处,折痕交OA于点C,则图中阴影部分的面积为__________.O图（4）CDAB解析:本题,BOCOABSSS2扇形阴影,题目所给条件不难求出扇形OAB的面积,但△BOC的面积不易求得.如果连结OD,那么OB=OD,再根据对折,得OB=BD,从而OB=OD=BD,即△BOD为等边三角形.至此,问题便很容易解决.解:连结OD.OCDAB∴OB=OD∵△BOC≌△BDC（由翻折可得）∴OB=BD,∠OBC=∠DBC属于我们自己的中考九年级数学习题第5页∴OB=OD=BD∴△BOD为等边三角形∴∠OBD=60°∴∠OBC=∠DBC=30°在Rt△BOC中,∵∠OBC=30°∴OBOCOBC30tantan∴336OC∴OC=32∴BOCOABSSS2扇形阴影3129232623606902★5.（2015.焦作一模）如图（5）所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′,点C′落在AB的延长线上,则图中阴影部分的面积是__________.图（5）αB'D'C'DCAB解:在Rt△ABC中,由勾股定理得:21)3(2222BCABAC∴AC=2BC∴∠BAC=30°由旋转的性质得:=∠BAB′=30°∴'''ABBCABSSS扇形阴影423360)3(302132'ABBABCSS扇形★6.（2014.河南）如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°.把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′,其中点C的运动路径为弧CC′,则图中阴影部分的面积为__________.图（6）C'D'B'CDAB解:由题意可知:A、D′、C三点共线,A、B、C′三点共线,如图所示,设BC与C′D′相交于点E.EC'D'B'CDAB容易得知:∠BED′=∠CEE′=90°.属于我们自己的中考九年级数学习题第6页设D′E=x,则BE=x,CD′=x2（为什么?）∴CE=x1在Rt△D′CE中,由勾股定理得:222222)2()1(''xxxCDCEED解之得:213,21321xx（舍去）∴D′E,213CE=233433223321321'CEDS由菱形的性质并结合勾股定理不难求得:AC=3∴CEDACCSSS''2扇形阴影43322360)3(302323423324★7.（2015.新乡一模）如图（7）所示,在Rt△AOB中,∠AOB=30°,∠A=90°,AB=1,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°得到Rt△COD,则在旋转过程中线段AB扫过的面积为__________.解析:本题中阴影部分是由相关图形的旋转形成的,阴影部分的面积与两个扇形的面积之间的关系为:OACOBDSSS扇形扇形阴影图（7）DCBAO解:在Rt△AOB中,∵∠AOB=30°∴OB=2AB=2由勾股定理得:3122222ABOBOA∴OACOBDSSS扇形扇形阴影360)3(9036029022443★8.（2014.许昌一模）如图（8）所示,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,B点的坐标为)32,0(,OC与⊙D相交于点C,∠OCA=30°,则图中阴影部分的面积为__________.解析:本题将圆的知识点与平面直角坐标系相结合,使得问题的解决更加灵活.实际上,平面直角坐标系是研究几属于我们自己的中考九年级数学习题第7页何或解析几何的有力工具.xy图（8）DAOBC解:连结AB.xyDAOBC∵∠AOB=90°∴AB是⊙D的直径∵∠OCA=30°∴∠OBA=30°∵B)32,0(∴OB=32设OA=x,则AB=x2在Rt△AOB中,由勾股定理得:222222)2()32(xxABOBOA解之得:2,221xx（舍去）∴OA=2,AB=4∴322322AOBS∴AOBSSS半圆阴影32232222在求扇形的面积时确定扇形的半径很重要★9.如图（9）所示,在扇形OAB中,∠AOB=60°,扇形半径为4,点C在弧AB上,CD⊥OA,垂足为点D,当△OCD的面积最大时,图中阴影部分的面积为__________.图（9）DBOAC解析:本题涉及到三角形面积最大的问题.当直角△COD满足什么条件时,其面积最大,弄清楚这个问题是解决本题问题的关键.解:在Rt△COD中,由勾股定理得:16222OCCDOD∵0)(2CDOD∴0222CDCDODOD∴8222CDODCDOD显然,当OD=CD时,取=号,此时△COD属于我们自己的中考九年级数学习题第8页是等腰直角三角形,其面积最大,最大值为421CDODSCOD∴COD=45°∴CODOACSSS扇形阴影4243604452★10.（2015.郑州外国语中学）如图（10）所示,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,△AOB绕点B逆时针旋转60°得到△BO′B′,AB与弧OO′相交于点E,若AD=2,则图中阴影部分的面积是__________.图（10）EB'O'OCDAB解:由题意可知:∠ABB′=60°,∠EBO′=15°在Rt△ABD中,由勾股定理得:22222222ABADBD由正方形的性质得:OB=2∴12221''BBOS∴''''BBOBEOBABSSSS扇形扇形阴影1360)2(15360260221127112132▲11.（2013.湖北潜江模拟）如图（11）,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=6cm,CD⊥AB于D,以C为圆心,CD为半径画弧,交BC于E,则图中阴影部分的面积为【】（A）43323cm2（B）83323cm2（C）4333cm2（D）8333cm2图（11）EDABC属于我们自己的中考九年级数学习题第9页B'AB▲12.(2013.洛阳模拟)如图所示,AB是⊙O的切线,OA=1,∠AOB=60°,则图中阴影部分的面积是【】BCOA（A）613（B）313（C）6123（D）3123▲13.（2015.新乡二模）如图所示,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,扇形AEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是__________.FEDCAB▲14.（2013.郑州二模）如图所示,直径AB为6的半圆,将其绕A点旋转60°,此时点B到了点B′处,则图中阴影部分的面积是__________.▲15.（2013.许昌一模）如图所示,在正方形ABCD中,AB=4,O为对角线BD的中点,分别以OB、OD为直径作⊙O1、⊙O2,则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）.O2O1ODABC▲16.（2015.自贡）如图,AB